গড় বর্গত্রুটি

পরিসংখ্যানে গড় বর্গত্রুটি (ইংরেজি: Mean Squared Error ) বা সংক্ষেপে MSE হলো একটি পরিমাপ যা অনুমিত মানসমূহ এবং প্রকৃত মানসমূহের ব্যবধানের বর্গের গড় মান দেয়। ভবিষ্যদ্‌বাণীমূলক মডেলিং এবং অনুমানকারীর সঠিকতা নির্ধারণ করতে এটি ব্যবহৃত হয়ে থাকে।

সংজ্ঞা

যদি $n$-সংখ্যক ডেটাপয়েন্টের একটি নমুনার জন্য $n$-সংখ্যক ভবিষ্যদ্‌বাণীর একটি ভেক্টর জেনারেট করা হয় – যেখানে, যে চলকের জন্য ভবিষ্যদ্‌বাণী করা হবে সে চলকের প্রকৃত মানগুলোর ভেক্টর $\mathbf {y}$, এবং ভবিষ্যদ্‌বাণীকৃত মানগুলোর ভেক্টর ${\hat {\mathbf {y} }}$ – সেখানে গড় বর্গত্রুটি হবে,

$$\operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({y}_{i}-{\hat {{y}_{i}}}\right)^{2}$$

এখানে $({y}_{i}-{\hat {{y}_{i}}})$ অংশটিকে, অর্থাৎ অনুমিত মানসমূহ এবং প্রকৃত মানসমূহের ব্যবধানকে ত্রুটি হিসেবে বিবেচনা করা হয়। সেক্ষেত্রে ত্রুটির বর্গের গড়মানই হলো গড় বর্গত্রুটি।

মেট্রিক্স লিখার নিয়ম অনুযায়ী,

$$\operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={\frac {1}{n}}\mathbf {e} ^{\mathsf {T}}\mathbf {e}$$

যেখানে $e_{i}$ হলো $({y}_{i}-{\hat {{y}_{i}}})$ এবং $\mathbf {e}$ একটি $n\times 1$ কলাম ভেক্টর।

অনুমানকারীর জন্য

কোনো অজানা প্যারামিটার $\theta$-এর জন্য এর অনুমানকারী ${\hat {\theta }}$-এর গড় বর্গত্রুটি হবে,

$$\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]$$

এখান থেকে প্রমাণ করা যায়,

$$\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+[\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }})]^{2}\$$

গড় বর্গত্রুটির সাথে ভেদাঙ্ক এবং পক্ষপাতের এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে অধিক কর্মদক্ষতাসম্পন্ন অনুমানকারী তৈরী করা যায়। পক্ষপাতহীন অনুমানকারীর জন্য গড় বর্গত্রুটি আর ভেদাঙ্ক সমান।