কোলাৎজ অনুমান

অপ্রমাণিত গণিত সমস্যা

জোড় সংখ্যার জন্য ২ দ্বারা ভাগ; বিজোড় সংখ্যার জন্য ৩ দ্বারা গুণ করে ১ যোগ। পর্যাপ্ত পুনরাবৃত্তির পর, সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কি ১-এ অভিসৃত হবে?

আরও গণিত অসমাধিত সমস্যা

ক্ষুদ্র সংখ্যাগুলোর কোলাৎজ ফাংশনে পরিভ্রমণ প্রদর্শনকারী নির্দেশিত গ্রাফ, জোড় সংখ্যাগুলো বাদ দেওয়া হয়েছে। কোলাৎজ অনুকল্প বলে যে সকল পথ শেষে ১-এ পৌঁছায়।

কোলাৎজ অনুকল্প^[ক] গণিতের সর্বাধিক বিখ্যাত অমীমাংসিত সমস্যাগুলোর একটি। এই অনুমানটি জিজ্ঞাসা করে যে দুটি সরল গাণিতিক প্রক্রিয়া বারংবার প্রয়োগের মাধ্যমে সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকেই কি শেষ পর্যন্ত ১-এ রূপান্তর করা সম্ভব? এটি পূর্ণসংখ্যার অনুক্রমগুলোর সাথে সম্পর্কিত, যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে নিম্নরূপে পাওয়া যায়: কোনো পদ জোড় হলে, পরবর্তী পদ হবে তার অর্ধেক। পদটি বিজোড় হলে, পরবর্তী পদ হবে পূর্ববর্তী পদের তিন গুণের সাথে ১ যোগ। এই অনুমান অনুসারে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে অনুক্রম শুরু করলেই তা শেষে ১-এ পৌঁছাবে। যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য এই অনুকল্পটি ২.৩৬ × ১০^২১ পর্যন্ত যাচাই করা হয়েছে, তবে কোনো সাধারণ প্রমাণ এখনো পাওয়া যায়নি।

এটির নামকরণ করা হয়েছে গণিতবিদ লোথার কোলাৎজের নামে, যিনি ডক্টরেট পাওয়ার দুই বছর পর ১৯৩৭ সালে এই ধারণাটি প্রবর্তন করেন।^[৩] সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলির অনুক্রমকে কখনও কখনও হেইলস্টন অনুক্রম, শিলাবৃষ্টি সংখ্যা বা শিলাবৃষ্টি অঙ্ক (কারণ মানগুলো সাধারণত মেঘে শিলাবৃষ্টির মতো একাধিকবার উপরে-নিচে ওঠানামা করে)^[৪] অথবা বিস্ময়কর সংখ্যা বলা হয়।^[৫]

পল এর্ডশ কোলাৎজ অনুকল্প সম্পর্কে বলেছিলেন: "গণিত হয়তো এখনো এমন সমস্যাগুলোর জন্য প্রস্তুত নয়।"^[৬] জেফ্রি লাগারিয়াস ২০১০ সালে উল্লেখ করেন যে কোলাৎজ অনুকল্প "একটি অসাধারণভাবে কঠিন সমস্যা, যা বর্তমান গণিতের সম্পূর্ণ আওতার বাইরে"।^[৭] তবে, যদিও কোলাৎজ অনুকল্প নিজে অমীমাংসিত রয়ে গেছে, এটি সমাধানের প্রচেষ্টা নতুন কৌশল এবং অনেক আংশিক ফলাফলের জন্ম দিয়েছে।^[৭]^[৮]

সমস্যার বিবৃতি

১ থেকে ৯৯৯৯ পর্যন্ত সংখ্যা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট মোট থামার সময়

১ থেকে ১০^৮ সংখ্যাগুলোর মোট থামার সময়ের হিস্টোগ্রাম। $x$ অক্ষে মোট থামার সময়, $y$ অক্ষে পুনরাবৃত্তি সংখ্যা।

১ থেকে ১০^৯ সংখ্যাগুলোর মোট থামার সময়ের হিস্টোগ্রাম। $x$ অক্ষে মোট থামার সময়, $y$ অক্ষে পুনরাবৃত্তি সংখ্যা।

২ থেকে ১০^৭ ইনপুটের জন্য পুনরাবৃত্তি সময়।

যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর নিম্নলিখিত অপারেশনটি বিবেচনা করুন:

সংখ্যাটি জোড় হলে তাকে দুই দিয়ে ভাগ করুন।
সংখ্যাটি বিজোড় হলে তাকে তিন দিয়ে গুণ করে এক যোগ করুন।

মডুলার গাণিতিক নোটেশনে, ফাংশন $f$ কে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\3n+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}$

যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে শুরু করে এই অপারেশনটি বারংবার প্রয়োগ করে একটি অনুক্রম গঠন করুন, যেখানে প্রতিটি ধাপের ফলাফল পরবর্তী ধাপের ইনপুট হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

গণিতের ভাষায়: $a_{i}={\begin{cases}n&{\text{for }}i=0,\\f(a_{i-1})&{\text{for }}i>0\end{cases}}$

কোলাৎজ অনুকল্পের মূল বক্তব্য: যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে শুরু করলেই এই প্রক্রিয়াটি শেষে সংখ্যা ১-এ পৌঁছাবে। অর্থাৎ, প্রতিটি $n$ এর জন্য এমন কোনো $i$ বিদ্যমান যেখানে $a_{i}=1$ ।

অনুকল্পটি মিথ্যা হলে একমাত্র সম্ভব হবে যদি এমন কোনো প্রারম্ভিক সংখ্যা থাকে যা ১-বিহীন কোনো অনুক্রম তৈরি করে। এমন অনুক্রম হয় ১-বর্জিত কোনো পুনরাবৃত্ত চক্রে প্রবেশ করবে, অথবা সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পাবে। এখন পর্যন্ত এমন কোনো অনুক্রম পাওয়া যায়নি।

ক্ষুদ্রতম $i$ যার জন্য $a i < a 0$ হয়, তাকে $n$ এর থামার সময় (stopping time) বলা হয়। অনুরূপভাবে, ক্ষুদ্রতম $k$ যার জন্য $a k = 1$ হয়, তাকে $n$ এর মোট থামার সময় (total stopping time) বলা হয়।^[৯] যদি $i$ বা $k$ এর কোনোটি বিদ্যমান না থাকে, তবে আমরা বলি থামার সময় বা মোট থামার সময় যথাক্রমে অসীম।

কোলাৎজ অনুকল্প দাবি করে যে প্রতিটি $n$ এর মোট থামার সময় সসীম। এটি এই কথারও সমতুল্য যে প্রতিটি $n \geq 2$ এর একটি সসীম থামার সময় আছে।

যেহেতু $n$ বিজোড় হলে $3 n + 1$ সর্বদা জোড় হয়, তাই কোলাৎজ ফাংশনের একটি "শর্টকাট" রূপ ব্যবহার করা যেতে পারে: $f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}$ এই সংজ্ঞাটি প্রক্রিয়ার সামগ্রিক গতিবিদ্যা পরিবর্তন না করেই থামার সময় ও মোট থামার সময়ের মান হ্রাস করে।

লব্ধ তথ্য

উদাহরণস্বরূপ, $n = ১২$ দিয়ে শুরু করে এবং "শর্টকাট" ছাড়া $f$ ফাংশন প্রয়োগ করলে অনুক্রমটি পাওয়া যায়: ১২, ৬, ৩, ১০, ৫, ১৬, ৮, ৪, ২, ১।

$n = ১৯$ সংখ্যাটি ১-এ পৌঁছাতে বেশি সময় নেয়: ১৯, ৫৮, ২৯, ৮৮, ৪৪, ২২, ১১, ৩৪, ১৭, ৫২, ২৬, ১৩, ৪০, ২০, ১০, ৫, ১৬, ৮, ৪, ২, ১।

$n = ২৭$ এর অনুক্রমটি নীচে তালিকাভুক্ত ও গ্রাফে দেখানো হয়েছে (বিজোড় সংখ্যাগুলো গাঢ় করে), যা ১-এ পৌঁছাতে ১১১ ধাপ নেয় (৪১ ধাপ বিজোড় সংখ্যার মাধ্যমে) এবং সর্বোচ্চ ৯২৩২ পর্যন্ত বৃদ্ধি পেয়ে অবশেষে ১-এ নামে।

২৭, ৮২, ৪১, ১২৪, ৬২, ৩১, ৯৪, ৪৭, ১৪২, ৭১, ২১৪, ১০৭, ৩২২, ১৬১, ৪৮৪, ২৪২, ১২১, ৩৬৪, ১৮২, ৯১, ২৭৪, ১৩৭, ৪১২, ২০৬, ১০৩, ৩১০, ১৫৫, ৪৬৬, ২৩৩, ৭০০, ৩৫০, ১৭৫, ৫২৬, ২৬৩, ৭৯০, ৩৯৫, ১১৮৬, ৫৯৩, ১৭৮০, ৮৯০, ৪৪৫, ১৩৩৬, ৬৬৮, ৩৩৪, ১৬৭, ৫০২, ২৫১, ৭৫৪, ৩৭৭, ১১৩২, ৫৬৬, ২৮৩, ৮৫০, ৪২৫, ১২৭৬, ৬৩৮, ৩১৯, ৯৫৮, ৪৭৯, ১৪৩৮, ৭১৯, ২১৫৮, ১০৭৯, ৩২৩৮, ১৬১৯, ৪৮৫৮, ২৪২৯, ৭২৮৮, ৩৬৪৪, ১৮২২, ৯১১, ২৭৩৪, ১৩৬৭, ৪১০২, ২০৫১, ৬১৫৪, ৩০৭৭, ৯২৩২, ৪৬১৬, ২৩০৮, ১১৫৪, ৫৭৭, ১৭৩২, ৮৬৬, ৪৩৩, ১৩০০, ৬৫০, ৩২৫, ৯৭৬, ৪৮৮, ২৪৪, ১২২, ৬১, ১৮৪, ৯২, ৪৬, ২৩, ৭০, ৩৫, ১০৬, ৫৩, ১৬০, ৮০, ৪০, ২০, ১০, ৫, ১৬, ৮, ৪, ২, ১(ওইআইএস: A008884)

যেসব প্রারম্ভিক মানের মোট থামার সময় তাদের থেকে ছোট যেকোনো প্রারম্ভিক মানের চেয়ে বেশি, তাদের অনুক্রম শুরু হয়:

১, ২, ৩, ৬, ৭, ৯, ১৮, ২৫, ২৭, ৫৪, ৭৩, ৯৭, ১২৯, ১৭১, ২৩১, ৩১৩, ৩২৭, ৬৪৯, ৭০৩, ৮৭১, ১১৬১, ২২২৩, ২৪৬৩, ২৯১৯, ৩৭১১, ৬১৭১, ... (ওইআইএস: A006877)।

যেসব প্রারম্ভিক মানের সর্বোচ্চ ট্র্যাজেক্টরি বিন্দু যেকোনো ছোট প্রারম্ভিক মানের চেয়ে বেশি, সেগুলো হলো:

১, ২, ৩, ৭, ১৫, ২৭, ২৫৫, ৪৪৭, ৬৩৯, ৭০৩, ১৮১৯, ৪২৫৫, ৪৫৯১, ৯৬৬৩, ২০৮৯৫, ২৬৬২৩, ৩১৯১১, ৬০৯৭৫, ৭৭৬৭১, ১১৩৩৮৩, ১৩৮৩৬৭, ১৫৯৪৮৭, ২৭০২৭১, ৬৬৫২১৫, ৭০৪৫১১, ... (ওইআইএস: A006884)

$n$ থেকে ১-এ পৌঁছানোর ধাপ সংখ্যা:

০, ১, ৭, ২, ৫, ৮, ১৬, ৩, ১৯, ৬, ১৪, ৯, ৯, ১৭, ১৭, ৪, ১২, ২০, ২০, ৭, ৭, ১৫, ১৫, ১০, ২৩, ১০, ১১১, ১৮, ১৮, ১৮, ১০৬, ৫, ২৬, ১৩, ১৩, ২১, ২১, ২১, ৩৪, ৮, ১০৯, ৮, ২৯, ১৬, ১৬, ১৬, ১০৪, ১১, ২৪, ২৪, ... (ওইআইএস: A006577)

সর্বাধিক মোট থামার সময়সহ প্রারম্ভিক মান

(নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে):
- ১০-এর কম: ৯ (১৯ ধাপ)
- ১০০-এর কম: ৯৭ (১১৮ ধাপ)
- ১০০০-এর কম: ৮৭১ (১৭৮ ধাপ)
- ১০^৪-এর কম: ৬১৭১ (২৬১ ধাপ)
- ১০^৫-এর কম: ৭৭০৩১ (৩৫০ ধাপ)
- ১০^৬-এর কম: ৮৩৭৭৯৯ (৫২৪ ধাপ)
- ১০^৭-এর কম: ৮৪০০৫১১ (৬৮৫ ধাপ)
- ১০^৮-এর কম: ৬৩৭২৮১২৭ (৯৪৯ ধাপ)
- ১০^৯-এর কম: ৬৭০৬১৭২৭৯ (৯৮৬ ধাপ)
- ১০^১০-এর কম: ৯৭৮০৬৫৭৬৩০ (১১৩২ ধাপ)^[১০]
- ১০^১১-এর কম: ৭৫১২৮১৩৮২৪৭ (১২২৮ ধাপ)
- ১০^১২-এর কম: ৯৮৯৩৪৫২৭৫৬৪৭ (১৩৪৮ ধাপ)^[১১] (ওইআইএস: A284668)

এই সংখ্যাগুলো নির্দিষ্ট ধাপ সংখ্যার জন্য সর্বনিম্ন মান, তবে প্রদত্ত সীমার মধ্যে একমাত্র নয়। যেমন, ৯৭৮০৬৫৭৬৩১ এরও ৯৭৮০৬৫৭৬৩০ এর মতো ১১৩২ ধাপ আছে।

ডিজিট সংখ্যার (বাইনারি) সাপেক্ষে সর্বনিম্ন মোট থামার সময় বিশিষ্ট প্রারম্ভিক মানগুলি হলো দুটির ঘাত (powers of two), যেহেতু $2 n$ কে ১-এ পৌঁছাতে $n$ বার অর্ধেক করা হয় এবং এটি কখনও বৃদ্ধি পায় না।

দৃশ্যায়ন

প্রথম ১০০০ সংখ্যার কক্ষপথ দেখানো নির্দেশিত গ্রাফ।
$x অক্ষ মূলত শুরুর সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে, y অক্ষ ১-এ পৌঁছানোর শৃঙ্খল চলাকালীন সর্বোচ্চ সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। এই প্লটটি একটি সীমাবদ্ধ y অক্ষ দেখায়: কিছু x মান 2.7 × 10 7 {\displaystyle 2.7\times 10^{7}} পর্যন্ত উচ্চ মধ্যবর্তী মান উৎপন্ন করে (x = ৯৬৬৩ এর জন্য)$
x অক্ষ মূলত শুরুর সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে, y অক্ষ ১-এ পৌঁছানোর শৃঙ্খল চলাকালীন সর্বোচ্চ সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। এই প্লটটি একটি সীমাবদ্ধ y অক্ষ দেখায়: কিছু x মান $2.7\times 10^{7}$ পর্যন্ত উচ্চ মধ্যবর্তী মান উৎপন্ন করে (x = ৯৬৬৩ এর জন্য)
পূর্ববর্তী প্লটের মতোই কিন্তু লগ স্কেলে, তাই সমস্ত y মান দেখানো হয়েছে। প্লটের মাঝখানে প্রথম মোটা রেখাটি ২৭ থেকে শুরু হওয়া শৃঙ্খলের সাথে সম্পর্কিত, যা ৯২৩২-এ সর্বোচ্চে পৌঁছায়।
২০ এর চেয়ে কম ধাপযুক্ত সমস্ত সংখ্যার গাছ।
প্রথম ১০০ মিলিয়ন সংখ্যার জন্য একে পৌঁছাতে যে সংখ্যক পুনরাবৃত্তি লাগে।
১ মিলিয়নের নিচে ৫০০০ টি র‍্যান্ডম শুরুর বিন্দুর জন্য কোলাৎজ অনুমান পথ।

টীকা

↑ এটি $৩ n + ১$ সমস্যা (বা অনুকল্প), $৩ x + ১$ সমস্যা (বা অনুকল্প), উলাম অনুকল্প (স্তানিস্লাভ উলামের নামে), কাকুতানি সমস্যা (শিজুও কাকুতানির নামে), থোয়েটস অনুকল্প (ব্রায়ান থোয়েটসের নামে), হাসি অ্যালগরিদম (হেলমুট হাসির নামে) বা সিরাকিউজ সমস্যা (সিরাকিউজ বিশ্ববিদ্যালয়ের নামে) হিসেবেও পরিচিত।^[১]^[২]

তথ্যসূত্র

↑ Maddux, Cleborne D.; Johnson, D. Lamont (১৯৯৭)। Logo: A Retrospective। New York: Haworth Press। পৃ. ১৬০। আইএসবিএন ০-৭৮৯০-০৩৭৪-০। সমস্যাটি উলামের অনুমান, শিলাবৃষ্টি সমস্যা, সিরাকিউজ সমস্যা, কাকুতানির সমস্যা, হাসির অ্যালগরিদম এবং কোলাৎজ সমস্যাসহ একাধিক নামে পরিচিত। (The problem is also known by several other names, including: Ulam's conjecture, the Hailstone problem, the Syracuse problem, Kakutani's problem, Hasse's algorithm, and the Collatz problem.)
↑ টেমপ্লেট:Named ref পৃ. ৪ অনুসারে, ১৯৫০-এর দশকে সিরাকিউজ বিশ্ববিদ্যালয়ে এক সফরের সময় হাসি "সিরাকিউজ সমস্যা" নামটি প্রস্তাব করেন।
↑ টেমপ্লেট:Mactutor
↑ Pickover, Clifford A. (২০০১)। Wonders of Numbers। Oxford: Oxford University Press। পৃ. ১১৬–১১৮। আইএসবিএন ০-১৯-৫১৩৩৪২-০।
↑ Hofstadter, Douglas R. (১৯৭৯)। Gödel, Escher, Bach। New York: Basic Books। পৃ. ৪০০–৪০২। আইএসবিএন ০-৪৬৫-০২৬৮৫-০।
↑ Guy, Richard K. (২০০৪)। ""E16: The 3x+1 problem""। Unsolved Problems in Number Theory (3rd সংস্করণ)। Springer-Verlag। পৃ. ৩৩০–৬। আইএসবিএন ০-৩৮৭-২০৮৬০-৭। জেবিএল 1058.11001।
1 2 Lagarias, Jeffrey C., সম্পাদক (২০১০)। The Ultimate Challenge: The 3x + 1 Problem। American Mathematical Society। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮২১৮-৪৯৪০-৮। জেবিএল 1253.11003।
↑ Tao, Terence (২০২২)। "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values"। Forum of Mathematics, Pi (ইংরেজি ভাষায়)। ১০: e১২। আরজাইভ:1909.03562। ডিওআই:10.1017/fmp.2022.8। আইএসএসএন 2050-5086।
↑ Lagarias, Jeffrey C. (১৯৮৫)। "The 3x + 1 problem and its generalizations"। The American Mathematical Monthly। ৯২ (1): ৩–২৩। ডিওআই:10.1080/00029890.1985.11971528। জেস্টোর 2322189।
↑ Leavens, Gary T.; Vermeulen, Mike (ডিসেম্বর ১৯৯২)। "3x + 1 search programs"। Computers & Mathematics with Applications। ২৪ (11): ৭৯–৯৯। ডিওআই:10.1016/0898-1221(92)90034-F।
↑ Roosendaal, Eric। "3x+1 delay records"। সংগ্রহের তারিখ ১৪ মার্চ ২০২০। (দ্রষ্টব্য: "বিলম্ব রেকর্ড" বলতে মোট থামার সময় রেকর্ড বোঝানো হয়েছে।)

আরও দেখুন

[3] এটি $৩ n + ১$ সমস্যা (বা অনুকল্প), $৩ x + ১$ সমস্যা (বা অনুকল্প), উলাম অনুকল্প (স্তানিস্লাভ উলামের নামে), কাকুতানি সমস্যা (শিজুও কাকুতানির নামে), থোয়েটস অনুকল্প (ব্রায়ান থোয়েটসের নামে), হাসি অ্যালগরিদম (হেলমুট হাসির নামে) বা সিরাকিউজ সমস্যা (সিরাকিউজ বিশ্ববিদ্যালয়ের নামে) হিসেবেও পরিচিত।^[১]^[২]

[1] Maddux, Cleborne D.; Johnson, D. Lamont (১৯৯৭)। Logo: A Retrospective। New York: Haworth Press। পৃ. ১৬০। আইএসবিএন ০-৭৮৯০-০৩৭৪-০। সমস্যাটি উলামের অনুমান, শিলাবৃষ্টি সমস্যা, সিরাকিউজ সমস্যা, কাকুতানির সমস্যা, হাসির অ্যালগরিদম এবং কোলাৎজ সমস্যাসহ একাধিক নামে পরিচিত। (The problem is also known by several other names, including: Ulam's conjecture, the Hailstone problem, the Syracuse problem, Kakutani's problem, Hasse's algorithm, and the Collatz problem.)

[2] টেমপ্লেট:Named ref পৃ. ৪ অনুসারে, ১৯৫০-এর দশকে সিরাকিউজ বিশ্ববিদ্যালয়ে এক সফরের সময় হাসি "সিরাকিউজ সমস্যা" নামটি প্রস্তাব করেন।

[4] টেমপ্লেট:Mactutor

[5] Pickover, Clifford A. (২০০১)। Wonders of Numbers। Oxford: Oxford University Press। পৃ. ১১৬–১১৮। আইএসবিএন ০-১৯-৫১৩৩৪২-০।

[6] Hofstadter, Douglas R. (১৯৭৯)। Gödel, Escher, Bach। New York: Basic Books। পৃ. ৪০০–৪০২। আইএসবিএন ০-৪৬৫-০২৬৮৫-০।

[Guy_(2004)-7] Guy, Richard K. (২০০৪)। ""E16: The 3x+1 problem""। Unsolved Problems in Number Theory (3rd সংস্করণ)। Springer-Verlag। পৃ. ৩৩০–৬। আইএসবিএন ০-৩৮৭-২০৮৬০-৭। জেবিএল 1058.11001।

[Lagarias_(2010)-8] 1 2 Lagarias, Jeffrey C., সম্পাদক (২০১০)। The Ultimate Challenge: The 3x + 1 Problem। American Mathematical Society। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮২১৮-৪৯৪০-৮। জেবিএল 1253.11003।

[Tao-9] Tao, Terence (২০২২)। "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values"। Forum of Mathematics, Pi (ইংরেজি ভাষায়)। ১০: e১২। আরজাইভ:1909.03562। ডিওআই:10.1017/fmp.2022.8। আইএসএসএন 2050-5086।

[Lagarias_(1985)-10] Lagarias, Jeffrey C. (১৯৮৫)। "The 3x + 1 problem and its generalizations"। The American Mathematical Monthly। ৯২ (1): ৩–২৩। ডিওআই:10.1080/00029890.1985.11971528। জেস্টোর 2322189।

[11] Leavens, Gary T.; Vermeulen, Mike (ডিসেম্বর ১৯৯২)। "3x + 1 search programs"। Computers & Mathematics with Applications। ২৪ (11): ৭৯–৯৯। ডিওআই:10.1016/0898-1221(92)90034-F।

[Roosendaal-12] Roosendaal, Eric। "3x+1 delay records"। সংগ্রহের তারিখ ১৪ মার্চ ২০২০। (দ্রষ্টব্য: "বিলম্ব রেকর্ড" বলতে মোট থামার সময় রেকর্ড বোঝানো হয়েছে।)

[ক]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১]

[২]