কোয়ান্টাইজেশন (পদার্থবিদ্যা)

কোয়ান্টাইজেশন (ব্রিটিশ ইংরেজিতে quantisation) হলো একটি পদ্ধতিগত প্রক্রিয়া, যার মাধ্যমে শারীরিক ঘটনা সম্বন্ধে প্রচলিত ক্লাসিক্যাল ধারণাকে আধুনিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় রূপান্তর করা হয়। এটি ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যা থেকে কোয়ান্টাম বলবিদ্যা নির্মাণের একটি উপায়। যদি অসীম সংখ্যক স্বাধীন ডিগ্রি থাকে, তাহলে সেটির সাধারণীকরণ হয় ফিল্ড কোয়ান্টাইজেশন—যেমন তড়িচ্চুম্বকীয় ক্ষেত্রের কোয়ান্টাইজেশন, যেখানে ফোটনগুলো ক্ষেত্রের "কোয়ান্টা" হিসেবে কাজ করে (যেমন আলোক কণা)। এই প্রক্রিয়াটি পারমাণবিক বলবিদ্যা, রসায়ন, কণিকা পদার্থবিজ্ঞান, নিউক্লিয়ার বলবিদ্যা, ঘনীভূত পদার্থের বলবিদ্যা এবং কোয়ান্টাম অপটিক্স-এর ভিত্তি গঠন করে।

ঐতিহাসিক পর্যালোচনা

১৯০১ সালে, ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক আলোক তাপগতীয় বিপর্যয় সমস্যার সমাধানে পরিসংখ্যান বলবিদ্যার বিতরণ ফাংশন তৈরি করার সময় আবিষ্কার করেন যে, ব্ল্যাকবডি বিকিরণের বৈশিষ্ট্যসমূহ কেবল তখনই ব্যাখ্যা করা সম্ভব, যদি ধরা হয় যে শক্তি নিরবিচ্ছিন্ন নয় বরং নির্দিষ্ট ও গাণনযোগ্য একক আকারে বিদ্যমান। অর্থাৎ, শক্তির একটি ক্ষুদ্রতম একক থাকে এবং এই সম্পর্কটি বজায় থাকে: $E=h\nu$ , যেখানে $\nu$ হলো কম্পাংক এবং $h$ হলো প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক। এটি পদার্থের গাণিতিক মডেলে একটি মৌলিক পরিবর্তনের ইঙ্গিত দেয়।

১৯০৫ সালে, আলবার্ট আইনস্টাইন “On a heuristic viewpoint concerning the emission and transformation of light” শীর্ষক প্রবন্ধে ফটোইলেকট্রিক প্রভাব ব্যাখ্যা করেন কোয়ান্টাইজড তড়িচ্চুম্বকীয় তরঙ্গ-এর সাহায্যে।^[১] এই প্রবন্ধে বর্ণিত শক্তি কোয়ান্টা-কেই পরবর্তীতে "ফোটন" নামে অভিহিত করা হয়। এরপর ১৯১৩ সালের জুলাই মাসে, নিলস বোর কোয়ান্টাইজেশন ধারণা ব্যবহার করে হাইড্রোজেন পরমাণুর বর্ণালী ব্যাখ্যা করেন "On the constitution of atoms and molecules" শীর্ষক প্রবন্ধে।

এই তত্ত্বগুলো সফল হলেও, সেগুলো মূলত ঘটনাভিত্তিক (phenomenological)। তবে ফরাসি গণিতবিদ অঁরি পয়াঁকারে ১৯১২ সালের “Sur la théorie des quanta” প্রবন্ধে প্রথম কোয়ান্টাইজেশন সংজ্ঞায়নের একটি পদ্ধতিগত ও কঠোর ভিত্তি দেন।^[২]^[৩]

"Quantum physics" শব্দবন্ধ প্রথম ব্যবহৃত হয় Johnston-এর Planck's Universe in Light of Modern Physics (১৯৩১) গ্রন্থে।

ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন

ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন হলো এমন একটি প্রক্রিয়া, যেখানে ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যা থেকে কোয়ান্টাম বলবিদ্যা তৈরি করা হয়। এতে ক্যানোনিক্যাল স্থানাঙ্কগুলোর মধ্যে কমিউটেশন সম্পর্ক প্রবর্তন করা হয়। গাণিতিকভাবে, স্থানাঙ্কগুলোকে সৃষ্টি ও বিলুপ্তি অপারেটর দ্বারা গঠিত অপারেটর হিসেবে রূপান্তরিত করা হয়, যেগুলো কোয়ান্টাম অবস্থাগুলোর ওপর কাজ করে। এর মধ্যে সর্বনিম্ন শক্তিসম্পন্ন অবস্থা হলো শূন্যাবস্থা (vacuum state)।

কোয়ান্টাইজেশন পদ্ধতি

ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন পদ্ধতির মধ্যেও একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হলো অর্ডারিং অস্পষ্টতা। ক্লাসিক্যালভাবে অবস্থান x ও গতি p একে অপরের সাথে বিনিময়যোগ্য হলেও, কোয়ান্টাম অপারেটর হিসেবে তারা নয়। এই অস্পষ্টতা দূর করার জন্য বিভিন্ন কোয়ান্টাইজেশন স্কিম প্রস্তাবিত হয়েছে,^[৪] যার মধ্যে Weyl কোয়ান্টাইজেশন স্কিম সবচেয়ে জনপ্রিয়। কিন্তু Groenewold–van Hove উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো নিখুঁত কোয়ান্টাইজেশন পদ্ধতি সম্ভব নয়। অর্থাৎ, যদি x ও p-এর কোয়ান্টাইজেশন প্রচলিত অবস্থান ও গতি অপারেটর হিসেবে নেওয়া হয়, তাহলে কোনো কোয়ান্টাইজেশনই পারফেক্টভাবে ক্লাসিক্যাল অবজারভেবলগুলোর পয়াসঁ ব্র্যাকেট সম্পর্ক বজায় রাখতে পারে না।^[৫] বিস্তারিত জানতে দেখুন: Groenewold-এর উপপাদ্য।

কভেরিয়েন্ট ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন

ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশন এমনভাবেও করা যায় যাতে স্পেসটাইমকে ভাগ করে নেওয়া বা হ্যামিল্টোনিয়ান বেছে নেওয়ার প্রয়োজন হয় না। এই পদ্ধতি একটি ক্লাসিক্যাল ক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে, তবে এটি ফাংশনাল ইন্টিগ্রাল পদ্ধতি থেকে ভিন্ন।

সব ধরনের ক্রিয়ার জন্য এই পদ্ধতি প্রযোজ্য নয়—যেমন অকারণ কাঠামো বা গেজ প্রবাহযুক্ত ক্রিয়া। প্রথমে, কনফিগারেশন স্পেসের ওপর সমস্ত (মসৃণ) ফাংশনাল নিয়ে একটি গাণিতিক বীজগণিত গঠন করা হয়। তারপর অয়লার–ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত আদর্শ দ্বারা এই বীজগণিতকে ভাগ করে নেওয়া হয়। পরবর্তীতে Peierls বন্ধনীর মাধ্যমে এটিকে একটি পয়াসঁ বীজগণিতে রূপান্তর করা হয়, যা ℏ দ্বারা বিকৃত করে ক্যানোনিক্যাল কোয়ান্টাইজেশনের মত একটি কোয়ান্টাম বীজগণিতে পরিণত হয়।

কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে গেজ প্রবাহযুক্ত ক্রিয়াও কোয়ান্টাইজ করা যায়, Batalin–Vilkovisky প্রণালীর মাধ্যমে, যা BRST প্রণালীর একটি সম্প্রসারণ।

ডিফর্মেশন কোয়ান্টাইজেশন

ডিফর্মেশন কোয়ান্টাইজেশন হলো একটি প্রাকৃতিক কোয়ান্টাইজেশনের প্রচেষ্টা, যার প্রস্তাব দেন হারমান ওয়েইল ১৯২৭ সালে।^[৬] এখানে চেষ্টা করা হয় একটি ক্লাসিক্যাল ফেজ স্পেসে সংজ্ঞায়িত বাস্তব-মান ফাংশনের সঙ্গে একটি কোয়ান্টাম অবজারভেবলের (অর্থাৎ একটি আত্ম-সমবায়ী অপারেটর) মিল ঘটানোর। ফেজ স্পেসে অবস্থান ও গতি মানচিত্রিত হয় হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর জেনারেটরের সঙ্গে, আর হিলবার্ট স্পেস হাজির হয় এই গোষ্ঠীর একটি উপস্থাপন হিসেবে।

১৯৪৬ সালে, এইচ. জে. গ্রুনেওয়োল্ড^[৭] দুটি অবজারভেবলের গুণফল নিয়ে ভাবেন এবং জিজ্ঞাসা করেন, ক্লাসিক্যাল ফেজ স্পেসে তার মানে কী হবে। এর ফলে তিনি আবিষ্কার করেন একটি নতুন পদ্ধতি—স্টার-প্রোডাক্ট, যা ফেজ স্পেসে দুটি ফাংশনের জন্য ব্যবহৃত হয়।

এটি আরও সাধারণভাবে ডিফর্মেশন কোয়ান্টাইজেশনের দিকে নিয়ে যায়, যেখানে ★-প্রোডাক্টটিকে একটি সিমপ্লেকটিক বহুবক বা পয়াসঁ বহুবক-এর উপর সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলোর বীজগণিতের একটি বিকৃতি হিসেবে ধরা হয়। তবে প্রাকৃতিক কোয়ান্টাইজেশন স্কিম হিসেবে (একটি ফান্টর), ওয়েইলের ম্যাপ আদর্শ নয়।

উদাহরণস্বরূপ, ক্লাসিক্যাল অ্যাংগুলার-মোমেন্টাম-স্কোয়্যারড-এর ওয়েইল ম্যাপ কেবল কোয়ান্টাম অ্যাংগুলার মোমেন্টাম অপারেটর নয়, বরং এতে একটি অতিরিক্ত ধ্রুবক পদ +৩ħ^২/২ যুক্ত হয়। এই অতিরিক্ত পদ শিক্ষার দিক থেকে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি বোঝায় যে হাইড্রোজেন পরমাণুর বোর-ভিত্তিক গ্রাউন্ড স্টেটেও কেন অ্যাংগুলার মোমেন্টাম শূন্য নয়, যদিও কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সাধারণ গ্রাউন্ড স্টেটে $l$ শূন্য।

^[৮]

তবে নিছক একটি উপস্থাপন পরিবর্তন হিসেবে ওয়েইলের ম্যাপ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি প্রচলিত কোয়ান্টাম বলবিদ্যার একটি সমতুল্য বিকল্প রূপ ফেজ স্পেস রূপায়ণ-এর ভিত্তি গঠন করে।

জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশন

গাণিতিক বলবিদ্যায়, জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশন একটি কোয়ান্টাম তত্ত্ব সংজ্ঞায়নের জন্য একটি গাণিতিক পদ্ধতি, যার লক্ষ্য থাকে একটি নির্দিষ্ট ক্লাসিক্যাল তত্ত্বের সঙ্গে মিল রেখে কোয়ান্টাইজেশন সম্পন্ন করা। এখানে কোয়ান্টাইজেশনের জন্য নির্দিষ্ট কোনো একক নিয়ম না থাকলেও, ক্লাসিক্যাল ও কোয়ান্টাম তত্ত্বের মধ্যে কিছু মৌলিক সাদৃশ্য বজায় রাখার চেষ্টা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, কোয়ান্টাম বলবিদ্যার হাইজেনবার্গ রূপে ব্যবহৃত হাইজেনবার্গ সমীকরণ এবং ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যার হ্যামিল্টনের সমীকরণের মধ্যে সাদৃশ্য রাখা হয়।

এই পদ্ধতির একটি আরও জ্যামিতিক রূপ, যেখানে ক্লাসিক্যাল ফেজ স্পেসকে একটি সাধারণ সিমপ্লেকটিক বহুবক হিসেবে ধরা হয়, ১৯৭০-এর দশকে বার্ট্রাম কোস্টান্ট এবং জঁ-মারি সুরিয়ু দ্বারা উন্নয়ন করা হয়।^[৯] পদ্ধতিটি দুইটি ধাপে সম্পন্ন হয়। প্রথম ধাপে গঠন করা হয় একটি "প্রি-কোয়ান্টাম হিলবার্ট স্পেস", যা ফেজ স্পেসের ওপর সংজ্ঞায়িত লাইন বান্ডেলের স্কোয়ার-ইনটেগ্রেবল ফাংশন বা সেকশন নিয়ে গঠিত। এতে এমন অপারেটর তৈরি করা যায়, যেগুলো ক্লাসিক্যাল পয়াসঁ ব্র্যাকেট সম্পর্ক বজায় রাখে। কিন্তু এই হিলবার্ট স্পেসটি বাস্তবিক অর্থে খুব বড় হয়ে যায়। তাই দ্বিতীয় ধাপে এই স্পেসকে সীমিত করে এমন ফাংশনে, যেগুলো ফেজ স্পেসের অর্ধেক ভেরিয়েবলের ওপর নির্ভরশীল—এতে আমরা পাই আসল কোয়ান্টাম হিলবার্ট স্পেস।

পথ সমাকলন কোয়ান্টাইজেশন

একটি ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যাগত তত্ত্বে ক্রিয়ার সাহায্যে সিস্টেম সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে গৃহীত কনফিগারেশনগুলো সেই সব যেগুলো এই ক্রিয়ার আপেক্ষিক চরম মান প্রদান করে (যেমন, সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন)। কোয়ান্টাম বলবিদ্যাগতভাবে এই ক্লাসিক্যাল সিস্টেমকে বর্ণনা করা যায় পথ সমাকলন রূপায়ণ (path integral formulation) পদ্ধতিতে, যেখানে সব সম্ভাব্য পথ নিয়ে গাণিতিক সমাকলন করা হয়।

অন্যান্য ধরন

লুপ কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ (লুপ কোয়ান্টাইজেশন)
অনিশ্চয়তা নীতি (কোয়ান্টাম পরিসংখ্যান বলবিদ্যার পদ্ধতি)
শভিঙ্গারের কোয়ান্টাম ক্রিয়া নীতি

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

↑ Folsing, Albrecht (১৯৯৭), Albert Einstein: A Biography, trans. Ewald Osers, Viking
↑ McCormmach, Russell (Spring ১৯৬৭)। "Henri Poincaré and the Quantum Theory"। Isis। 58 (1): 37–55। এসটুসিআইডি 120934561। ডিওআই:10.1086/350182।
↑ Irons, F.E. (আগস্ট ২০০১)। "Poincaré's 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms"। American Journal of Physics। 69 (8): 879–84। ডিওআই:10.1119/1.1356056। বিবকোড:2001AmJPh..69..879I।
↑ Hall 2013 Chapter 13
↑ Hall 2013 Theorem 13.13
↑ Weyl, H. (১৯২৭)। "Quantenmechanik und Gruppentheorie"। Zeitschrift für Physik। 46 (1–2): 1–46। এসটুসিআইডি 121036548। ডিওআই:10.1007/BF02055756। বিবকোড:1927ZPhy...46....1W।
↑ Groenewold, H.J. (১৯৪৬)। "On the principles of elementary quantum mechanics"। Physica। 12 (7): 405–460। আইএসএসএন 0031-8914। ডিওআই:10.1016/S0031-8914(46)80059-4। বিবকোড:1946Phy....12..405G।
↑ Dahl, Jens Peder; Schleich, Wolfgang P. (২০০২)। "Concepts of radial and angular kinetic energies"। Physical Review A। 65 (2): 022109। arXiv:quant-ph/0110134 । আইএসএসএন 1050-2947। এসটুসিআইডি 39409789। ডিওআই:10.1103/PhysRevA.65.022109। বিবকোড:2002PhRvA..65b2109D।
↑ Hall 2013 Chapters 22 and 23

[1] Folsing, Albrecht (১৯৯৭), Albert Einstein: A Biography, trans. Ewald Osers, Viking

[2] McCormmach, Russell (Spring ১৯৬৭)। "Henri Poincaré and the Quantum Theory"। Isis। 58 (1): 37–55। এসটুসিআইডি 120934561। ডিওআই:10.1086/350182।

[3] Irons, F.E. (আগস্ট ২০০১)। "Poincaré's 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms"। American Journal of Physics। 69 (8): 879–84। ডিওআই:10.1119/1.1356056। বিবকোড:2001AmJPh..69..879I।

[4] Hall 2013 Chapter 13

[5] Hall 2013 Theorem 13.13

[6] Weyl, H. (১৯২৭)। "Quantenmechanik und Gruppentheorie"। Zeitschrift für Physik। 46 (1–2): 1–46। এসটুসিআইডি 121036548। ডিওআই:10.1007/BF02055756। বিবকোড:1927ZPhy...46....1W।

[Groenewold1946-7] Groenewold, H.J. (১৯৪৬)। "On the principles of elementary quantum mechanics"। Physica। 12 (7): 405–460। আইএসএসএন 0031-8914। ডিওআই:10.1016/S0031-8914(46)80059-4। বিবকোড:1946Phy....12..405G।

[DahlSchleich2002-8] Dahl, Jens Peder; Schleich, Wolfgang P. (২০০২)। "Concepts of radial and angular kinetic energies"। Physical Review A। 65 (2): 022109। arXiv:quant-ph/0110134 । আইএসএসএন 1050-2947। এসটুসিআইডি 39409789। ডিওআই:10.1103/PhysRevA.65.022109। বিবকোড:2002PhRvA..65b2109D।

[9] Hall 2013 Chapters 22 and 23

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]