বিষয়বস্তুতে চলুন

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব হচ্ছে আর্থার কেলিউইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

যদি A একটি প্রদত্ত n × n ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং In  যদি n × n ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে:[] । এখানে det হচ্ছে নির্ণায়ক এবং λ একটি চলক। যেহেতু ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো λ এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে λ এর এক চলক বিশিষ্ট n-ঘাতী বহুপদী, A ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক λ-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় । কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ

উদাহরণ

[সম্পাদনা]

১ × ১ ম্যাট্রিক্স

[সম্পাদনা]

১ × ১ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স A = (a) এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ − a, আর তাই p(A) = (a) − a(1) = 0

২ × ২ ম্যাট্রিক্স

[সম্পাদনা]

উদাহরণস্বরূপ, ধরি

এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি সঙ্গায়িত করা হয়

তখন

আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি,

সাধারণভাবে কোনো ২ × ২ ম্যাট্রিক্স,

এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc)। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে
প্রমাণ








তথ্যসূত্র

[সম্পাদনা]
  1. আটিয়া, এম. এফ.; ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. (১৯৬৯), Introduction to Commutative Algebra, ওয়েস্টভিউ প্রেস, আইএসবিএন 978-0-201-40751-8 

বহিঃসংযোগ

[সম্পাদনা]