কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব
কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব হচ্ছে আর্থার কেলি ও উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
যদি A একটি প্রদত্ত n × n ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং In যদি n × n ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে:[১] । এখানে det হচ্ছে নির্ণায়ক এবং λ একটি চলক। যেহেতু ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো λ এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে λ এর এক চলক বিশিষ্ট n-ঘাতী বহুপদী, । A ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক λ-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় । কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ ।
উদাহরণ
[সম্পাদনা]১ × ১ ম্যাট্রিক্স
[সম্পাদনা]১ × ১ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স A = (a) এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ − a, আর তাই p(A) = (a) − a(1) = 0
২ × ২ ম্যাট্রিক্স
[সম্পাদনা]উদাহরণস্বরূপ, ধরি
- ।
এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী
কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি সঙ্গায়িত করা হয়
তখন
- ।
আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি,
সাধারণভাবে কোনো ২ × ২ ম্যাট্রিক্স,
- এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী p(λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc)। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে
প্রমাণ
|
---|
|
তথ্যসূত্র
[সম্পাদনা]- ↑ আটিয়া, এম. এফ.; ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. (১৯৬৯), Introduction to Commutative Algebra, ওয়েস্টভিউ প্রেস, আইএসবিএন 978-0-201-40751-8
বহিঃসংযোগ
[সম্পাদনা]- Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Cayley–Hamilton theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4
- "Proof of Cayley-Hamilton theorem by formal substitutions"। প্ল্যানেটম্যাথ (ইংরেজি ভাষায়)।
- "The Cayley–Hamilton theorem"। ম্যাথপেইজেস (ইংরেজি ভাষায়)।