কথোপকথন সম্পর্ক

গণিতে, বাইনারি সম্পর্কের কথোপকথন হল সেই সম্পর্ক যা উপাদানগুলির ক্রম সম্পর্কের মধ্যে পরিবর্তন করা হলে ঘটে। যেমন কথোপকথন সম্পর্কের 'শিশু এর' সম্পর্ক 'পিতামাতা এর'। আনুষ্ঠানিক পদে, যদি $X$ এবং $Y$ সেট এবং $L\subseteq X\times Y$ থেকে একটি সম্পর্ক $X$ থেকে $Y,$ তারপর $L^{\operatorname {T} }$ সম্পর্ক তাই সংজ্ঞায়িত করা হয় $yL^{\operatorname {T} }x$ যদি এবং শুধুমাত্র যদি $xLy.$ সেট-বিল্ডার নোটেশনে

$L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.$

যেহেতু একটি সম্পর্ক একটি যৌক্তিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, এবং কথোপকথন সম্পর্কের যৌক্তিক ম্যাট্রিক্স হল মূলের স্থানান্তর, তাই কনভার্স রিলেশনকে ট্রান্সপোজ রিলেশনও বলা হয়। এটিকে মূল সম্পর্কের বিপরীত বা দ্বৈতও বলা হয়েছে, মূল সম্পর্কের বিপরীত, বা পারস্পরিক সম্পর্ক $L^{\circ }$ সম্পর্কে $L.$

কথোপকথন সম্পর্কের জন্য অন্যান্য স্বরলিপি অন্তর্ভুক্ত $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ বা $L^{\vee }.$

একটি বিপরীত ফাংশনের জন্য স্বরলিপিটি তার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। যদিও অনেক ফাংশনের একটি বিপরীত নেই, প্রতিটি সম্পর্কের একটি অনন্য কথোপকথন আছে। কথোপকথন সম্পর্কের সাথে একটি সম্পর্ককে ম্যাপ করে এমন ইউনারি অপারেশন হল একটি ইনভল্যুশন, তাই এটি একটি সেটে বাইনারি সম্পর্কের উপর ইনভল্যুশন সহ একটি সেমিগ্রুপের গঠনকে প্ররোচিত করে, বা, আরও সাধারণভাবে, নীচে বিশদ হিসাবে সম্পর্কের বিভাগে একটি ড্যাগার বিভাগকে প্ররোচিত করে . একটি ইউনারি অপারেশন হিসাবে, কনভার্স গ্রহণ করা (কখনও কখনও রূপান্তর বা স্থানান্তর বলা হয়) সম্পর্কের ক্যালকুলাসের অর্ডার-সম্পর্কিত ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে যাতায়াত করে, অর্থাৎ এটি মিলন, ছেদ এবং পরিপূরকের সাথে যাতায়াত করে।

উদাহরণ

স্বাভাবিক (হয়তো কঠোর বা আংশিক) ক্রম সম্পর্কের জন্য, কথোপকথনটি সহজভাবে প্রত্যাশিত "বিপরীত" ক্রম, উদাহরণের জন্য, ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$

একটি সম্পর্ক একটি লজিক্যাল ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যেমন $${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

তারপর কথোপকথন সম্পর্ক তার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়: $${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.$$

আত্মীয়তার সম্পর্কের কথোপকথনের নাম দেওয়া হয়েছে: " $A$ এর একটি শিশু $B$ "কথোপকথন আছে" $B$ এর একজন অভিভাবক $A$ " " $A$ এর ভাগ্নে বা ভাগ্নি $B$ "কথোপকথন আছে" $B$ এর একজন চাচা বা খালা $A$ " সম্পর্ক" $A$ এর ভাইবোন $B$ " এর নিজস্ব কথোপকথন, যেহেতু এটি একটি প্রতিসম সম্পর্ক।

বৈশিষ্ট্য

একটি সেটে বাইনারি এন্ডোরেলেশনের মনোয়েডে (সম্পর্কের উপর বাইনারি অপারেশনটি সম্পর্কের সংমিশ্রণে ) কথোপকথন সম্পর্কটি গ্রুপ তত্ত্ব থেকে বিপরীতের সংজ্ঞাকে সন্তুষ্ট করে না, অর্থাৎ যদি $L$ উপর একটি স্বেচ্ছাচারী সম্পর্ক $X,$ তারপর $L\circ L^{\operatorname {T} }$ পরিচয় সম্পর্কের সমান not $X$ সাধারণভাবে কথোপকথন সম্পর্ক অন্তর্ভূক্তি সহ একটি সেমিগ্রুপের (দুর্বল) স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে: $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ এবং $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.$

যেহেতু কেউ সাধারণত বিভিন্ন সেটের মধ্যে সম্পর্ক বিবেচনা করতে পারে (যা মনোয়েডের পরিবর্তে একটি বিভাগ গঠন করে, যেমন সম্পর্কের বিভাগ Rel ), এই প্রসঙ্গে কথোপকথন সম্পর্কটি একটি ড্যাগার বিভাগের স্বতঃসিদ্ধ (ওরফে অন্তর্ভূক্তি সহ বিভাগ)। এর কনভার্সের সমান একটি সম্পর্ক একটি প্রতিসম সম্পর্ক ; ড্যাগার বিভাগের ভাষায়, এটি স্ব-সংলগ্ন ।

তদুপরি, একটি সেটে এন্ডোরেলেশনের সেমিগ্রুপটিও একটি আংশিকভাবে সাজানো কাঠামো (সম্পর্ককে সেট হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করার সাথে), এবং আসলে একটি অনিচ্ছাকৃত কোয়ান্টেল । একইভাবে, ভিন্নধর্মী সম্পর্কের বিভাগ, Rel ও একটি আদেশকৃত বিভাগ।

সম্পর্কের ক্যালকুলাসে, conversion (কনভার্স রিলেশন নেওয়ার ইউনারী অপারেশন) ইউনিয়ন এবং ইন্টারসেকশনের অন্যান্য বাইনারি অপারেশনের সাথে যাতায়াত করে। কনভার্সন কমপ্লিমেন্টেশনের ইউনারি অপারেশনের পাশাপাশি সুপ্রেমা এবং ইনফিমা গ্রহণের সাথেও চলাচল করে। রূপান্তর অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে সম্পর্কের ক্রম অনুসারেও সামঞ্জস্যপূর্ণ।

যদি একটি সম্পর্ক প্রতিফলিত, অপরিবর্তনীয়, প্রতিসম, প্রতিসাম্যহীন, অপ্রতিসম, ট্রানজিটিভ, সংযুক্ত, ট্রাইকোটোমাস, একটি আংশিক ক্রম, মোট আদেশ, কঠোর দুর্বল ক্রম, মোট প্রি-অর্ডার (দুর্বল ক্রম), বা একটি সমতুল্য সম্পর্ক হয় তবে এর কনভার্সও হয়।

বিপরীত

যদি $I$ পরিচয় সম্পর্ক প্রতিনিধিত্ব করে, তারপর একটি সম্পর্ক $R$ নিম্নরূপ একটি বিপরীত হতে পারে: $R$ বলা হয়

ডান-উল্টানো : যদি $X$ নামে একটি সম্পর্ক থাকে, যেটিকে $R$-এর ডান বিপরীত বলা হয়, এবং এটি $R\circ X=I$ শর্ত পূরণ করে।

বাম-উল্টানো

যদি $Y$ নামে একটি সম্পর্ক থাকে, যেটিকে $R$-এর বাম বিপরীত বলা হয়, এবং এটি $Y\circ R=I$ শর্ত পূরণ করে।

উল্টানো

যদি একটি সম্পর্ক একইসঙ্গে ডান-উল্টানো এবং বাম-উল্টানো হয়।

একটি অপরিবর্তনীয় সমজাতীয় সম্পর্কের জন্য $R,$ সমস্ত ডান এবং বাম বিপরীতগুলি মিলে যায়; এই অনন্য সেট বলা হয় তারInverse relation এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় $R^{-1}.$ এই ক্ষেত্রে, $R^{-1}=R^{\operatorname {T} }$ ধারণ করে

একটি ফাংশনের কথোপকথন সম্পর্ক

একটি ফাংশন ইনভার্টেবল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর কথোপকথন সম্পর্ক একটি ফাংশন হয়, যে ক্ষেত্রে কনভার্স রিলেশনটি বিপরীত ফাংশন হয়।

একটি ফাংশনের কথোপকথন সম্পর্ক $f:X\to Y$ সম্পর্ক $f^{-1}\subseteq Y\times X$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $\operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$

এটি অগত্যা একটি ফাংশন নয়: একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল যে $f$ ইনজেকশন হতে, অন্য থেকে $f^{-1}$ বহু-মূল্যবান । এই অবস্থার জন্য যথেষ্ট $f^{-1}$ একটি আংশিক ফাংশন হচ্ছে, এবং এটা স্পষ্ট যে $f^{-1}$ তাহলে একটি (মোট) ফাংশন যদি এবং শুধুমাত্র যদি $f$ অনুমানমূলক হয় সেই ক্ষেত্রে, মানে যদি $f$ দ্বিমুখী হয়, $f^{-1}$ এর বিপরীত ফাংশন বলা যেতে পারে $f.$

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন $f(x)=2x+2$ বিপরীত ফাংশন আছে $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$

যাইহোক, ফাংশন $g(x)=x^{2}$ বিপরীত সম্পর্ক আছে $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ যা একটি ফাংশন নয়, বহু-মূল্যবান।

সম্পর্কের সাথে রচনা

সম্পর্কের গঠন ব্যবহার করে, কথোপকথনটি মূল সম্পর্কের সাথে তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এর কথোপকথনের সাথে গঠিত উপসেট সম্পর্কটি সর্বদা সর্বজনীন সম্পর্ক:

∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. একইভাবে,

U = মহাবিশ্বের জন্য, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B।

এখন সেট সদস্যতা সম্পর্ক এবং তার কথোপকথন বিবেচনা করুন.

$A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$

এভাবে $A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$ বিপরীত রচনা $\in \ni$ সার্বজনীন সম্পর্ক।

রচনাগুলি টাইপ অনুসারে সম্পর্ককে শ্রেণীবদ্ধ করতে ব্যবহৃত হয়: একটি সম্পর্কের জন্য Q, যখন Q- এর পরিসরে পরিচয় সম্পর্ক Q ^T Q ধারণ করে, তখন Q কে বলা হয় অভিন্ন । যখন Q- এর ডোমেনের পরিচয় সম্পর্ক QQ ^T- এ থাকে, তখন Q কে মোট বলা হয়। যখন Q একই এবং মোট উভয়ই হয় তখন এটি একটি ফাংশন । যখন Q ^T সমতুল্য হয়, তখন Q কে ইঞ্জেকটিভ বলা হয়। যখন Q ^T মোট হয়, তখন Q কে surjective বলা হয়।

যদি Q একক হয়, তাহলে QQ ^T হল Q এর ডোমেনে একটি সমতুল্য সম্পর্ক, ট্রানজিটিভ রিলেশন#রিলেটেড বৈশিষ্ট্য দেখুন।