উৎকেন্দ্রিকতা

অন্য ব্যবহারের জন্য উৎকেন্দ্রিকতা (দ্ব্যর্থতা নিরসন) দেখুন।

বিভিন্ন বিকেন্দ্রীকরণের শঙ্কু বিভাগের একটি পরিবার একটি ফোকাস বিন্দু F এবং ডাইরেক্ট্রিক্স লাইন L ভাগ করে, যার মধ্যে একটি উপবৃত্ত (লাল, e = 1/2 ), একটি প্যারাবোলা (সবুজ, e = 1 ), এবং একটি অধিবৃত্ত (নীল, e = 2 ) অন্তর্ভুক্ত। এই চিত্রে বিকেন্দ্রীকরণ 0 এর শঙ্কুটি ফোকাসে কেন্দ্রীভূত একটি অসীম ক্ষুদ্র বৃত্ত, এবং বিকেন্দ্রীকরণ ∞ এর শঙ্কুটি হল অসীমভাবে পৃথক করা একটি রেখার জোড়া।

সসীম ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের একটি অসীম দূরবর্তী নির্দেশিকা থাকে, যেখানে সসীম বিভাজনের একজোড়া রেখার একটি অসীম দূরবর্তী কেন্দ্রবিন্দু থাকে।

গণিতে, একটি শঙ্কু অংশের উৎকেন্দ্রিকতা হল একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা যা এর আকৃতিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করে। উৎকেন্দ্রিকতাকে এমনভাবে বোঝা যায় যে এটা একটি শঙ্কুর অংশের বৃত্তাকার আকৃতির থেকে কতটা ভিন্ন বা বিচ্যুত তা পরিমাপ করে। বিশেষ করে:

• উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) হলো কনিকে বক্ররেখার আকৃতি বৃত্তাকার থেকে কতটা বিচ্যুত তা পরিমাপ করার একটি সংখ্যা। এটি সাধারণত 0 থেকে ∞ পর্যন্ত হতে পারে। কনিকে বিভিন্ন ধরনের বক্ররেখার জন্য উৎকেন্দ্রিকতার মান ভিন্ন, যা নিচের মতো সাজানো যায়:
  • Circle (বৃত্ত): e = 0, অর্থাৎ সম্পূর্ণ বৃত্তাকার।
  • Ellipse (উপবৃত্ত): 0 < e < 1, বৃত্ত থেকে সামান্য বিচ্যুত।
  • Parabola (পরাবৃত্ত): e = 1, একটি নির্দিষ্ট বিচ্যুতির আকার।
  • Hyperbola (অধিবৃত্ত): e > 1, বৃত্তাকার থেকে অনেক বেশি বিচ্যুত। প্রতিটি মান কনিকে বক্ররেখার আকার ও প্রকৃতি নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

একটি শঙ্কুর সমতল অংশ

$e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,$

যেখানে β হলো সমতল এবং অনুভূমিকের মধ্যবর্তী কোণ, এবং α হলো শঙ্কুর তির্যক জেনারেটর এবং অনুভূমিকের মধ্যবর্তী কোণ।

• যদি β = 0 হয়, তাহলে সমতল অংশটি একটি বৃত্ত হবে।
• যদি β = α হয়, তাহলে সমতল অংশটি একটি প্যারাবোলা হবে। (এখানে লক্ষ্য করা জরুরি যে সমতলটি শঙ্কুর শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলিত হবে না।)

স্বরলিপি

তিনটি নোটেশনাল কনভেনশন সাধারণভাবে ব্যবহৃত হয়:

1. e for the eccentricity and c for the linear eccentricity.
2. ε for the eccentricity and e for the linear eccentricity.
3. e or ϵ< for the eccentricity and f for the linear eccentricity (mnemonic for half-focal separation).

মূল্যবোধ

স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম

কনিক বিভাগ	সমীকরণ	অদ্ভুততা ( e )	রৈখিক বিকেন্দ্রিকতা ( c )
বৃত্ত	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$0$	$0$
উপবৃত্ত	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ অথবা ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ কোথায় $a>b$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
প্যারাবোলা	$x^{2}=4ay$	$1$	অনির্ধারিত ( $\infty$ )
অধিবৃত্ত	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ অথবা ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

সাধারণ ফর্ম

যখন শঙ্কু অংশটি সাধারণ দ্বিঘাত আকারে দেওয়া হয়

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,$

নিম্নলিখিত সূত্রটি শঙ্কুর অংশের উৎকেন্দ্রিকতা (e) নির্ধারণ করে, যদি শঙ্কুর অংশটি একটি প্যারাবোলা (যার উৎকেন্দ্রিকতা e = 1), একটি অবক্ষয়িত অধিবৃত্ত বা অবক্ষয়িত উপবৃত্ত না হয় এবং এটি কোনো কাল্পনিক উপবৃত্তও না হয়। এই সূত্র শঙ্কুর জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী বিকেন্দ্রিকতার মান বের করতে ব্যবহার করা হয়।

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}$

কোথায় $\eta =1$ যদি 3×3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক

${\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$

ধ্রুবক a এবং পরিবর্তনশীল বিকেন্দ্রীকরণ e সহ উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত।

উপবৃত্ত

একটি উপবৃত্তের বিকেন্দ্রীকরণ (eccentricity) সর্বদা 1 এর চেয়ে কম থাকে। যদি বৃত্তকে (যার বিকেন্দ্রীকরণ 0) উপবৃত্তের অন্তর্ভুক্ত ধরা হয়, তাহলে একটি উপবৃত্তের বিকেন্দ্রীকরণ 0 বা তার বেশি হয়। তবে, যদি বৃত্তকে উপবৃত্তের বিশেষ বিভাগ থেকে বাদ দেওয়া হয়, তখন উপবৃত্তের বিকেন্দ্রীকরণ সম্পূর্ণরূপে 0 এর চেয়ে বড় হয়।

যেকোনো উপবৃত্তের জন্য, ধরা যাক a হলো তার আধা-প্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য এবং b হলো তার আধা-ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য। উপবৃত্তের কেন্দ্রকে উৎপত্তিস্থল ধরে এবং x-অক্ষকে প্রধান অক্ষের সাথে সারিবদ্ধ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থাপন করলে, উপবৃত্তের প্রতিটি বিন্দু নিম্নলিখিত সমীকরণটি পূরণ করে:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

নাম	প্রতীক	a এবং b এর পরিপ্রেক্ষিতে	e এর পরিপ্রেক্ষিতে
প্রথম বিকেন্দ্রিকতা	$e$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	$e$
দ্বিতীয় বিকেন্দ্রিকতা	$e'$	${\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}$	${\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}$
তৃতীয় বিকেন্দ্রিকতা	$e''={\sqrt {m}}$	${\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}$
কৌণিক বিকেন্দ্রীকরণ	$\alpha$	$\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)$	$\sin ^{-1}e$

আধা-প্রধান a এবং আধা-ক্ষুদ্র b অক্ষের ক্ষেত্রে প্রথম বিকেন্দ্রীকরণ e : e² + (b/a)² = 1

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতার জন্য অন্যান্য সূত্র

$e={\frac {c}{a}}.$

$e={\frac {a}{d}}.$

$e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.$

$e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},$

চতুর্ভুজ

উপবৃত্ত, শূন্য থেকে অসীম পর্যন্ত সকল সম্ভাব্য বিকেন্দ্রিকতা সহ হাইপারবোলা এবং এক ঘন পৃষ্ঠের উপর একটি প্যারাবোলা।

একটি ত্রিমাত্রিক চতুর্ভুজের (triaxial ellipsoid) উৎকেন্দ্রিকতা হলো এর নির্দিষ্ট অংশের উৎকেন্দ্রিকতা। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিঅক্ষীয় উপবৃত্তাকারে, মধ্যাক্ষীয় উৎকেন্দ্রিকতা হলো দীর্ঘতম এবং ক্ষুদ্রতম উভয় অক্ষ (যার একটি মেরু অক্ষ) ধারণকারী অংশ দ্বারা গঠিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা। অন্যদিকে, নিরক্ষীয় উৎকেন্দ্রিকতা হলো মেরু অক্ষের লম্ব কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অংশ দ্বারা গঠিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, অর্থাৎ নিরক্ষীয় সমতলে। তবে লক্ষ্যণীয় যে, শঙ্কুযুক্ত অংশগুলিও উচ্চতর ক্রমের পৃষ্ঠে ঘটতে পারে (চিত্র দেখুন)।