গণিতে অ্যাপেল ধারা হল চারটি হাইপারজ্যামিতিক সিরিজ F 1 , F 2 , F 3 , F 4 দুটি চলকের একটি সেট যা পল অ্যাপেল (১৮৮০ ) দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং এটি একটি চলকের গাউসের হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2 F 1 কে সাধারণীকরণ করে। অ্যাপেল আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের সেট প্রতিষ্ঠা করেছে যার এই অপেক্ষকগুলি সমাধান, এবং একটি পরিবর্তনশীলের হাইপারজ্যামিতিক ধারার পরিপ্রেক্ষিতে এই ধারাগুলির বিভিন্ন হ্রাস সূত্র এবং অভিব্যক্তি খুঁজে পেয়েছে।
অ্যাপেল সিরিজ F 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | x | < 1, | y | ডাবল সিরিজ দ্বারা < 1
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
;
c
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
(
a
)
m
+
n
(
b
1
)
m
(
b
2
)
n
(
c
)
m
+
n
m
!
n
!
x
m
y
n
,
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
যেখানে
(
q
)
n
{\displaystyle (q)_{n}}
x এবং y এর অন্যান্য মানের জন্য F 1 ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। দেখানো যেতে পারে যে[ ১]
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
;
c
;
x
,
y
)
=
∑
r
=
0
∞
(
a
)
r
(
b
1
)
r
(
b
2
)
r
(
c
−
a
)
r
(
c
+
r
−
1
)
r
(
c
)
2
r
r
!
x
r
y
r
2
F
1
(
a
+
r
,
b
1
+
r
;
c
+
2
r
;
x
)
2
F
1
(
a
+
r
,
b
2
+
r
;
c
+
2
r
;
y
)
.
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}(c-a)_{r}}{(c+r-1)_{r}(c)_{2r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c+2r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c+2r;y\right)~.}
একইভাবে, ফাংশন F 2 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | x | + | y | < 1 সিরিজ দ্বারা
F
2
(
a
,
b
1
,
b
2
;
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
(
a
)
m
+
n
(
b
1
)
m
(
b
2
)
n
(
c
1
)
m
(
c
2
)
n
m
!
n
!
x
m
y
n
{\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}}
এবং এটি দেখানো যেতে পারে
F
2
(
a
,
b
1
,
b
2
;
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
=
∑
r
=
0
∞
(
a
)
r
(
b
1
)
r
(
b
2
)
r
(
c
1
)
r
(
c
2
)
r
r
!
x
r
y
r
2
F
1
(
a
+
r
,
b
1
+
r
;
c
1
+
r
;
x
)
2
F
1
(
a
+
r
,
b
2
+
r
;
c
2
+
r
;
y
)
.
{\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}}{(c_{1})_{r}(c_{2})_{r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c_{1}+r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c_{2}+r;y\right)~.}
এছাড়াও | এর জন্য F 3 ফাংশন x | < 1, | y | < 1 সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
;
c
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
(
a
1
)
m
(
a
2
)
n
(
b
1
)
m
(
b
2
)
n
(
c
)
m
+
n
m
!
n
!
x
m
y
n
,
{\displaystyle F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
এবং ফাংশন F 4 এর জন্য | x |১ ⁄২ y |১ ⁄২
F
4
(
a
,
b
;
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
(
a
)
m
+
n
(
b
)
m
+
n
(
c
1
)
m
(
c
2
)
n
m
!
n
!
x
m
y
n
.
{\displaystyle F_{4}(a,b;c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}
গাউস হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2 F 1 এর মতো, অ্যাপেল ডাবল সিরিজটি সংলগ্ন ফাংশনগুলির মধ্যে পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাপেলের F 1- এর জন্য এই ধরনের সম্পর্কের একটি মৌলিক সেট দেওয়া হয়েছে:
(
a
−
b
1
−
b
2
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
a
F
1
(
a
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
1
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
2
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle (a-b_{1}-b_{2})F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+b_{2}F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
F
1
(
a
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-(c-a)F_{1}(a,b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
c
(
x
−
1
)
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
x
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(x-1)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)-(c-a)x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
c
(
y
−
1
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
y
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
.
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(y-1)F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)-(c-a)y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}
F 1 এর জন্য বৈধ অন্য কোন সম্পর্ক এই চারটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে।
একইভাবে, অ্যাপেলের F 3 এর জন্য সমস্ত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এই পাঁচটি সেট থেকে অনুসরণ করে:
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
(
a
1
+
a
2
−
c
)
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
1
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
2
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+(a_{1}+a_{2}-c)F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{1}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{2}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
1
x
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
2
y
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
a
1
x
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+a_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
+
a
2
y
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
.
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}+1,c;x,y)+a_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}
অ্যাপেলের F 1 এর জন্য, নিম্নলিখিত অন্তরজগুলি একটি দ্বিগুণ ধারা দ্বারা সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:
∂
n
∂
x
n
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
(
a
)
n
(
b
1
)
n
(
c
)
n
F
1
(
a
+
n
,
b
1
+
n
,
b
2
,
c
+
n
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{1}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1}+n,b_{2},c+n;x,y)}
∂
n
∂
y
n
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
(
a
)
n
(
b
2
)
n
(
c
)
n
F
1
(
a
+
n
,
b
1
,
b
2
+
n
,
c
+
n
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial y^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{2}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1},b_{2}+n,c+n;x,y)}
এর সংজ্ঞা থেকে, অ্যাপেলের F 1 দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করতে আরও পাওয়া যায়:
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
2
+
y
(
1
−
x
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
−
b
1
y
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
1
F
1
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
2
+
x
(
1
−
y
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
−
b
2
x
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
2
F
1
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}
F 2 এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
x
y
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
1
−
(
a
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
−
b
1
y
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
1
F
2
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
x
y
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
2
−
(
a
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
−
b
2
x
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
2
F
2
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}
সিস্টেমের সমাধান আছে
F
2
(
x
,
y
)
=
C
1
F
2
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
2
x
1
−
c
1
F
2
(
a
−
c
1
+
1
,
b
1
−
c
1
+
1
,
b
2
,
2
−
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
3
y
1
−
c
2
F
2
(
a
−
c
2
+
1
,
b
1
,
b
2
−
c
2
+
1
,
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
+
C
4
x
1
−
c
1
y
1
−
c
2
F
2
(
a
−
c
1
−
c
2
+
2
,
b
1
−
c
1
+
1
,
b
2
−
c
2
+
1
,
2
−
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
{\displaystyle F_{2}(x,y)=C_{1}F_{2}(a,b_{1},b_{2},c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{2}(a-c_{1}+1,b_{1}-c_{1}+1,b_{2},2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{2}+1,b_{1},b_{2}-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{1}-c_{2}+2,b_{1}-c_{1}+1,b_{2}-c_{2}+1,2-c_{1},2-c_{2};x,y)}
একইভাবে, F 3 এর জন্য নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:
∂
∂
x
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
a
1
b
1
c
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{1}b_{1}}{c}}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)}
∂
∂
y
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
a
2
b
2
c
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{2}b_{2}}{c}}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)}
এবং F 3 এর জন্য নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেম পাওয়া যায়:
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
2
+
y
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
1
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
1
b
1
F
3
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
y
2
+
x
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
2
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
3
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
2
b
2
F
3
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}
F 4 এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
y
2
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
2
x
y
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
1
−
(
a
+
b
+
1
)
x
]
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
−
(
a
+
b
+
1
)
y
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
F
4
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
x
2
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
2
x
y
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
2
−
(
a
+
b
+
1
)
y
]
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
−
(
a
+
b
+
1
)
x
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
F
4
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}
সিস্টেমের সমাধান আছে
F
4
(
x
,
y
)
=
C
1
F
4
(
a
,
b
,
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
2
x
1
−
c
1
F
4
(
a
−
c
1
+
1
,
b
−
c
1
+
1
,
2
−
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
3
y
1
−
c
2
F
4
(
a
−
c
2
+
1
,
b
−
c
2
+
1
,
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
+
C
4
x
1
−
c
1
y
1
−
c
2
F
4
(
2
+
a
−
c
1
−
c
2
,
2
+
b
−
c
1
−
c
2
,
2
−
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
{\displaystyle F_{4}(x,y)=C_{1}F_{4}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{4}(a-c_{1}+1,b-c_{1}+1,2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{4}(a-c_{2}+1,b-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{4}(2+a-c_{1}-c_{2},2+b-c_{1}-c_{2},2-c_{1},2-c_{2};x,y)}
অ্যাপেলের ডাবল সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চারটি ফাংশন শুধুমাত্র প্রাথমিক ফাংশন জড়িত ডবল ইন্টিগ্রেলের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে (গ্র্যাডশটেইন এবং অন্যান্য ২০১৫ )। যাইহোক, ইমাইল পিকার্ড (১৯৮১ ) আবিষ্কার করেছেন যে অ্যাপেলের F 1 একটি এক-মাত্রিক অয়লার -টাইপ ইন্টিগ্রাল হিসাবেও লেখা যেতে পারে:
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
Γ
(
c
)
Γ
(
a
)
Γ
(
c
−
a
)
∫
0
1
t
a
−
1
(
1
−
t
)
c
−
a
−
1
(
1
−
x
t
)
−
b
1
(
1
−
y
t
)
−
b
2
d
t
,
ℜ
c
>
ℜ
a
>
0
.
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_{1}}(1-yt)^{-b_{2}}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}
এই উপস্থাপনাটি ইন্টিগ্র্যান্ডের টেলর সম্প্রসারণের মাধ্যমে যাচাই করা যেতে পারে, তারপরে টার্মওয়াইজ ইন্টিগ্রেশন।
পিকার্ডের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা বোঝায় যে অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড F এবং E পাশাপাশি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড Π অ্যাপেলের F 1 এর বিশেষ ক্ষেত্রে :
F
(
ϕ
,
k
)
=
∫
0
ϕ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
sin
(
ϕ
)
F
1
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
3
2
;
sin
2
ϕ
,
k
2
sin
2
ϕ
)
,
|
ℜ
ϕ
|
<
π
2
,
{\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}
E
(
ϕ
,
k
)
=
∫
0
ϕ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
sin
(
ϕ
)
F
1
(
1
2
,
1
2
,
−
1
2
,
3
2
;
sin
2
ϕ
,
k
2
sin
2
ϕ
)
,
|
ℜ
ϕ
|
<
π
2
,
{\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
=
π
2
F
1
(
1
2
,
1
,
1
2
,
1
;
n
,
k
2
)
.
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {\pi }{2}}\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},1;n,k^{2})~.}
দুটি চলকের সাতটি সম্পর্কিত সিরিজ রয়েছে, Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 , Ξ 1 , এবং Ξ 2 , যা কুমারের সঙ্গম হাইপারজ্যাম্যাট্রিক ফাংশন 1 F 1 একটি চলকের এবং সঙ্গম হাইপারজ্যামেট্রিক সীমা 0 কে সাধারণীকরণ করে একই পদ্ধতিতে একটি চলকের F 1 । এর মধ্যে প্রথমটি ১৯২০ সালে পিয়েরে হামবার্ট প্রবর্তন করেছিলেন।
জিউসেপ লরিসেলা (১৮৯৩ ) অ্যাপেল সিরিজের অনুরূপ চারটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছে, তবে শুধুমাত্র দুটি চলক x এবং y এর পরিবর্তে অনেকগুলি চলকের উপর নির্ভর করে। এই সিরিজগুলিও অ্যাপেল দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। তারা নির্দিষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং অয়লার-টাইপ ইন্টিগ্রেল এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রেলের ক্ষেত্রেও দেওয়া যেতে পারে।
↑ See Burchnall & Chaundy (1940), formula (30).
অ্যাপেল, পল (১৮৮০)। "Sur les séries hypergéométriques de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles"। Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (French ভাষায়)। 90 : 296–298 and 731–735। জেএফএম 12.0296.01 । 3 (α,α',β,β',γ; x,y)" in C. R. Acad. Sci. 90 , pp. 977–980)Appell, Paul (১৮৮২)। "Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables" । Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 8 : 173–216। এপ্রিল ১২, ২০১৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। Appell, Paul; Kampé de Fériet, Joseph (১৯২৬)। Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (French ভাষায়)। Paris: Gauthier–Villars। জেএফএম 52.0361.13 । টেমপ্লেট:Dlmf Burchnall, J. L.; Chaundy, T. W. (১৯৪০)। "Expansions of Appell's double hypergeometric functions"। Q. J. Math. । First Series। 11 : 249–270। ডিওআই :10.1093/qmath/os-11.1.249 । Erdélyi, A. (১৯৫৩)। Higher Transcendental Functions, Vol. I (পিডিএফ) । New York: McGraw–Hill। ১১ আগস্ট ২০১১ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০ ডিসেম্বর ২০২৪ । Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (২০১৫) [October 2014]। "9.18."। Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo । Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. । আইএসবিএন 978-0-12-384933-5 । এলসিসিএন 2014010276 । Humbert, Pierre (১৯২০)। "Sur les fonctions hypercylindriques"। Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (French ভাষায়)। 171 : 490–492। জেএফএম 47.0348.01 । Lauricella, Giuseppe (১৮৯৩)। "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili"। Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 7 : 111–158। এসটুসিআইডি 122316343 । জেএফএম 25.0756.01 । ডিওআই :10.1007/BF03012437 । Picard, Émile (১৮৮১)। "Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann relativ aux fonctions hypergéométriques" । Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure । Série 2 (French ভাষায়)। 10 : 305–322। জেএফএম 13.0389.01 । ডিওআই :10.24033/asens.203 C. R. Acad. Sci. 90 (1880), pp. 1119–1121 and 1267–1269)Slater, Lucy Joan (১৯৬৬)। Generalized hypergeometric functions আইএসবিএন 0-521-06483-X । এমআর 0201688 । আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-০৯০৬১-২ )
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8706133888a0e338e4de551a4972366985207f9d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bff5fa0629d1a666987c3de41c19c844051e462)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d21a04bed4e7413e8920bbc7f497839ce1d825d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65ead117e29aac6a889284b1053fefc246ebac8)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d663fa4f5968774d6161e1e71b0b266e9e32d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6536613b1adff04079e9165521549cf56d2dabdf)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c1762747b2fa7376e0fb2c8021f60a750a0531)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d908adf62352b754c3f772f24b2a81e342a67ddc)
। (see also C. R. Acad. Sci. 90 (1880), pp. 1119–1121 and 1267–1269)
। Cambridge, UK: Cambridge University Press। আইএসবিএন 0-521-06483-X। এমআর 0201688। (there is a 2008 paperback with আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-০৯০৬১-২)
