লুকাস রাশিমালা

লুকাস রাশিমালা

লুকাস রাশিমালা ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া এদুয়ার আনাতোল লুকা-র নামে নাম দেয়া পূর্ণ সংখ্যার ধারা। ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ও লুকাস রাশিমালা - দুইটিই লুকাস ধারার উদাহরণ।

লুকাস রাশিমালার প্রতিটি সংখ্যা পূর্বের দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান। তাই লুকাস রাশিমালার পর পর দুটি সংখ্যার অনুপাত সোনালি অনুপাত এর সমান।

ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে লুকাস রাশিমালার পার্থক্য হলো, এর প্রথম দুইটি সংখ্যা হলো L₀ = 2 এবং L₁ = 1 (ফিবোনাচ্চি রাশিমালাতে এই দুটি সংখ্যা হলো 0 এবং 1।

কাজেই, লুকাস রাশিমালার সংজ্ঞা দেয়া যায় এভাবেঃ

$L_{n}:=L(n):={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}$

লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলি তাই হলো:

২, ১, ৩, ৪, ৭, ১১, ১৮, ২৯, ৪৭, ৭৬, ১২৩, প্রভৃতি।

ঋণাত্মক ধারা

লুকাস রাশিমালাকে ঋণাত্মক দিকে বর্ধিত করার জন্য ব্যবহার করা যায় L_n-2 = L_n - L_n-1 - এই সূত্রটি। এর ফলে ঋণাত্মক দিকে লুকাস সংখ্যার যে ধারা পাওয়া যায়, তা হলো এরকম: ... -১১, ৭, -৪, ৩, -১, ২, ১, ৩, ৪, ৮, ১১, ... .

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!$

ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে সম্পর্ক

লুকাস রাশিমালার সাথে ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সম্পর্ক নিম্নের সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়:

• $\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}$
• $\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$

আর লুকাস রাশিমালার সংখ্যা বের করার সূত্র হলো:

$L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}$

যেখানে $\varphi$ হলো সোনালি অনুপাত।

এছাড়াও:

• $\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

যেহেতু $n\,$ অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, $L_{n} \over F_{n}\,$ এর মান ${\sqrt {5}}\,.$ এর দিকে এগোতে থাকে।

কনগ্রুয়েন্স সূত্র

L_n হলো ১ mod n এর কনগ্রুয়েন্ট, যদি n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়। তবে n এর অনেক যৌগিক মানের জন্যও এরকম বৈশিষ্ট্য দেখা যায়।

লুকাস মৌলিক সংখ্যা

লুকাসীয় মৌলিক সংখ্যা হলো লুকাস রাশিমালার এমন একটি সংখ্যা যা মৌলিক সংখ্যাও বটে। প্রথম কয়েকটি লুকাসীয় মৌলিক সংখ্যা হলো

২, ৩, ৭, ১১, ২৯, ৪৭, ১৯৯, ৫২১, ২২০৭, ৩৫৭১, ৯৩৪৯, ...

n = ০, ৪, ৮, ১৬, ছাড়া, যদি L_n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে n একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উল্ট্টাটা অবশ্য ঠিক নয়।

বহিঃসংযোগ

• ম্যাথ ওয়ার্ল্ডে লুকাস সংখ্যা
• ডঃ রন নটের লেখা ওয়েবপেইজ
• লুকাস রাশিমালা ও সোনালী অনুপাত