স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক

যৌগিক স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক

স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক বলতে কোনও বস্তু বা পদার্থর উপর চাপ (পীড়ন) প্রয়োগ করা হলে, ওই বস্তু বা পদার্থর যে স্থায়ী বা অস্থায়ী পরিবর্তন বা বিকৃতি হয় তার পরিমাপক একটি রাশি। স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো বস্তুর পীড়ন ও বিকৃতির অনুপাতকে ঐ বস্তুর উপাদানের স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক বলে।

পীড়ন-বিকৃতির লেখচিত্রের ঢাল দ্বারা স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক প্রকাশ করা যায়, যা ঐ বস্তু বা পদার্থের পরিবর্তিত/ বিকৃত স্থানের অবস্থা বুঝায়। কঠিন পদার্থের স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক অনেক বেশি হয়। স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ককে নিম্নোক্ত ভাবে প্রকাশ করা যায়ঃ

$\lambda =\left({\frac {stress}{strain}}\right)$

এখানে, stress হলো পীড়ন, বস্তুর আকার পরিবর্তন করতে যে বল প্রয়োগ করা হয়েছে। এবং strain হলো বিকৃতি, পীড়নের ফলে বস্তুর পরিবর্তিনের অনুপাত। যেহেতু পীড়ন একটি মাত্রাবিহীন পরিমাপক, তাই $\lambda$ (স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক) -র কোনো মাত্রা নেই।

ভেক্টর মান সহ (মান ও দিক নির্দিষ্ট), পীড়ন ও বিকৃতি নির্ণয়ের নির্ধারিত পদ্ধতি মেনে, স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ককে বিভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।

১। ইয়াংয়ের স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক $\lambda$ দিয়ে টেনসলির স্থিতিস্থাপকতা ব্যাখা করা যায়। টেনসাইল পীড়ন এবং বিকৃতির অনুপাত হলো, বস্তুর উপর যেদিকে বল প্রয়োগ করা হয় তার বিকৃতিও সেদিকে ঘটার প্রবণতা থাকে। মূলত এটাই স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক হিসিবে সংজ্ঞায়িত।

২। বস্তুর উপর বিপরীত্মুখী শক্তি প্রয়োগ করা হলে তখন কোন ধরনের কৃন্তন প্রবণতা (ধ্রুবক আয়তনের আকৃতির বিকৃতি) বা কৃন্তন গুণাঙ্ক বা স্ট্র্যাডিটির মডুলাস (G or $\mu$) প্রকাশ পায়। এটি শিয়া্উনের বিকৃতির সাথে শিয়ার পীড়নের সম্পর্ক হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। শিয়ার মডুলাস সান্দ্রতার অংশবিশেষ।

৩। বাল্ক গুণাঙ্ক (K) দ্বারা বোঝানো হয় যে, ভলিউম্যাট্রিক (আয়তন) স্থিতিস্থাপকতা বা অজানাভাবে সমস্ত দিক থেকে বল প্রয়োগ করার সময় চারদিককেই বিকৃত করার প্রবণতা নির্দেশ করে; যা আয়তন বিকৃতি এবং আয়তন পীড়নের অনুপাত এবং সংকোচনের বিপরীত। বাল্ক গুণাঙ্ক ইয়ংয়ের মডুলাসকে ত্রিমাত্রিক রূপ দেয়।

অন্য দুটি ইলাস্টিক মডুলি বা স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক হলো লামার প্রথম প্যারামিটার (Lamé's first parameter) এবং পি-ওয়েভ মডুলাস।

সমজাতীয় এবং আইসোট্রপিক (সমস্ত দিকে একই রকম) উপকরণ; সাধারণত সলিডস; তাদের (রৈখিক) স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্য এই দুটি স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক দ্বারা সম্পূর্ণরূপে ব্যাখ্যা করা যায়।

ইনকিডসিড জাতীয় তরল (যাদের সান্দ্রতা নেই) শিয়ার পীড়নকে সমর্থন করে না, যার অর্থ এদের শিয়ার গুণাংক সর্বদা শূন্য থাকে। অর্থাৎ এদের জন্য ইয়ংয়ের গুণাঙ্ক সর্বদা শূন্য।

কিছু কিছু ক্ষেত্রে, স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ককে স্থিতিস্থাপক ধ্রুবক হিসাবে উল্লেখ করা হয়, অন্যদিকে এর বিপরীত পরিমাণকে স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

আরো দেখুন

• নমনীয় কঠিনতা
• গতিশীল মডুলাস
• স্থিতিস্থাপকতার সীমা
• স্থিতিস্থাপক তরঙ্গ
• হুকের সূত্র
• নমনীয় মডুলাস

Further reading

• Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (২০০১)। Engineering Mechanics। Volume 2। Springer। আইএসবিএন 978-1-4020-4123-5। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• De Jong, M.; Chen, Wei (২০১৫)। "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds"। Scientific Data। 2: 150009। ডিওআই:10.1038/sdata.2015.9। পিএমআইডি 25984348। পিএমসি 4432655 । বিবকোড:2013NatSD...2E0009D। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

রূপান্তর সূত্র
সমজাতীয় সমদৈশিক রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থগুলোর স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা এর মধ্যে যে কোনও দুটি মডিউল দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়। ত্রিমাত্রিক উপাদান (ছকের প্রথম অংশ) এবং দ্বিমাত্রিক উপাদান (ছকের দ্বিতীয় অংশ) উভয়ের জন্যই দেওয়া এই সূত্রগুলো অনুসারে স্থিতিস্থাপক মডিউলের অন্য যে কোনোটি গণনা করা যেতে পারে।
ত্রিমাত্রিক সূত্র	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	টীকা
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ এখানে দুটি বৈধ সমাধান রয়েছে। যোগ চিহ্ন বাড়লে $\nu \geq 0$. বিয়োগ চিহ্ন বাড়লে $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	ব্যবহার করা যাবে না যখন $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
দ্বিমাত্রিক সূত্র	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	টীকা
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	ব্যবহার করা যাবে না যখন $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$