লোপিতালের নিয়ম

উদাহরণ: লুপিতালের নিয়মের ব্যবহার f(x) = sin(x) এবং g(x) = −0.5x এর জন্য ফাংশন h(x) = f(x)/g(x), x = 0 তে অসংজ্ঞায়িত; কিন্তু R এর সকল মানের জন্য অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষকে রূপান্তর করা যাবে h(0) = f′(0)/g′(0) = −2 দ্বারা।

গণিতে, বিশেষত ক্যালকুলাসে, লুপিতালের নিয়ম (ফরাসি: Règle de L'Hôpital—রিগল্য দ্যু লুপিতাল) অসংজ্ঞায়িত গাণিতিক রাশির সীমা নির্ধারণের জন্য একটি সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি। নিয়মটির প্রয়োগ (বা পুনরায় প্রয়োগ) প্রায়শই একটি অসংজ্ঞায়িত রাশিকে এমন একটি রাশিতে রূপান্তরিত করে, যার মান প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সহজেই নির্ণয় করা যায়।এই বিধিটির নামকরণ করা হয়েছে সপ্তদশ শতাব্দীর ফরাসি গণিতবিদ গিয়্যোম দ্য লুপিতালের নামে। যদিও লুপিতালকে নিয়মটির প্রবর্তক বলা হয়, তবে নিয়মটি সম্পর্কে তাঁকে প্রথম ধারণা দেন সুইস গণিতবিদ জোহান বার্নৌলি ১৬৯৪ সালে; বার্নৌলি লুপিতালের গুরু ছিলেন।

নিয়ম

f এবং g দুটি অপেক্ষক যদি একটি খোলা ব্যবধি বা উন্মুক্ত সীমায় অন্তরীকরণযোগ্য হয়, কেবল সম্ভবত $x=c$ বিন্দুতে ছাড়া

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ হলে তখন $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ বিদ্যমান থাকলে অথবা সীমা যদি $+\infty$ বা $-\infty$ হয়, তবে

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

ইতিহাস

গিলিয়াম দে লা'হোপিটাল ( লা'হসপিটাল নামেও লেখা হয়) ১৬৯৬ সালে তার লিখিত বই Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes ( আক্ষরিক অনুবাদ : বক্ররেখা বোঝার জন্য অসীম ক্ষুদ্র বিশ্লেষণ ) -তে নিয়মটি প্রথম প্রকাশ করেন ৷ বইটি ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাস এর উপর লিখিত প্রথম বই ৷ তবে সুইস গণিতবিদ জোহান বার্নৌলি-কে নিয়মটির আবিষ্কারক মনে করা হয় ৷

সাধারণ রূপ

লা'হোপিটালের নিয়মের সাধারণ রূপটি অনেকগুলো নিয়মকে ধারণ করে। ধরা যাক, c এবং L সম্প্রসারিত বাস্তব সংখ্যা (অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যা, ধনাত্বক অসীম সংখ্যা অথবা ঋনাত্মক অসীম সংখ্যা) ৷ I একটি উন্মুক্ত সীমা যার মধ্যে অথবা যেকোনো এক প্রান্তে c বিন্দু অবস্থিত (এক প্রান্তে:c অসীম হলে) ৷ বাস্তব ফাংশন f এবং g, বিন্দু c ব্যতীত I এর সকল মান এর জন্য অন্তরীকরণযোগ্য এবং বিন্দু c ব্যতীত I এর সকল মান এর জন্য $g'(x)\neq 0$ ৷ তাহলে ধরা যাক $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ ৷ সুতরাং নিয়মটি এমন অবস্থার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেখানে ডেরাইভেটিভসের অনুপাতের একটি সসীমা বা অসীম সীমা রয়েছে, তবে এমন অবস্থার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয় যখন অনুপাতের মান স্থায়ীভাবে ওঠানামা করে (যেমন: x এর মান c এর খুব কাছাকাছি চলে যায়)।

হয়

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

অথবা

$\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,$

তাহলে

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.$

যদিও আমরা সবসময় x → c লিখেছি ,তবে c যখন I এর সসীম প্রান্তবিন্দু হবে,তখন লিমিট এক-পার্শ্বীয় (x → c⁺ or x → c⁻) লিমিট হতে পারে।