রেখার বর্ধিতাংশ

ABC যে কোন ত্রিভুজের প্রতিটি বহিবৃত্ত (কমলা বর্ণ) ত্রিভুজটির একটি বাহু এবং অপর দুই বাহুর বর্ধিত অংশের স্পর্শক।

সমতলীয় জ্যামিতিতে কোন বহুভুজের কোন বাহুকে এর যেকোন প্রান্তের দিকে ঐ বাহু বরাবর বর্ধিত করা হলে প্রাপ্ত রেখা বা রেখাংশই ঐ বাহুর বর্ধিতাংশ। কোন বহুভুজের বাহুকে বাহুটি বরাবর এর উভয় প্রান্তের দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়।

নিচে বিভিন্ন বহুভুজের ক্ষেত্রে বাহুর বর্ধিত অংশ নিয়ে আলোচনা করা হল:

ত্রিভুজ

স্থূলকোণী ত্রিভুজে, যে কোন সূক্ষকোণের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বরেখা তথা উচ্চতা রেখা ঐ বাহুর বর্ধিত অংশকে ছেদ করে।

যে কনিক কোন ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় দিয়ে গমন করে তাকে সারকামকনিক (circumconic) এবং যে কনিক ত্রিভুজের বাহুত্রয় দ্বারা (সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বাহুগুলোর বর্ধিত অংশ দ্বারা) অন্তর্লিখিত তাকে ইনকনিক (inconic) বলা হয়। যে উপবৃত্ত কোন ত্রিভুজের বাহু তিনটিকে স্পর্শ করে তাকে অর্থাৎ ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত উপবৃত্তকে আন্তঃত্রিভুজ উপবৃত্ত (inellipse) বলা হয়। ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত হল আন্তঃত্রিভুজ উপবৃত্তের সরলতম উদাহরণ। কোন ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত এবং এর আন্তঃত্রিভুজ উপবৃত্ত নয় এমন ইনকনিকসমূহ ত্রিভুজটির একটি বাহুকে এবং অপর দুইবাহুর বর্ধিত অংশকে বাহ্যিকভাবে স্পর্শ করে (বহিঃস্পর্শক)।

বহিঃস্পর্শকীয় চতুর্ভুজ

কোন চতুর্ভুজের বাহু চারটিকে বর্ধিত করা হলে যদি এরা কোন বৃত্তের স্পর্শক হয় তবে এই চতুর্ভুজটি বহিঃস্পর্শকীয় চতুর্ভুজ। বহিঃস্পর্শকীয় চতুর্ভুজের বহিঃকেন্দ্র অর্থাৎ স্পর্শক বৃত্তের কেন্দ্র (E) ছয়টি কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখার ছেদবিন্দুতে অবস্থান করে। এই সমদ্বিখণ্ডক রেখাগুলোর মধ্যে দুটি রেখা চতুর্ভুজটির BAD ও BCD বিপরীত অন্তকোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডক, দুটি রেখা ADC ও ABC কোণের সম্পূরক (বহিস্থ) কোণদুটির সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি রেখা AD ও BC বাহুর বর্ধিতাংশ এবং DC ও AB বাহুর বর্ধিতাংশ যে দুটি কোণ উৎপন্ন করে তাদের সম্পূরক কোণদুটির সমদ্বিখণ্ডক।

ষড়ভুজ

বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCDEF ষড়ভুজের বাহুগুলোকে বিপরীতভাবে বর্ধিত করা হলে এদের ছেদবিন্দুগুলো MNP প্যাসকেল রেখা (নীল) এর উপর অবস্থান করবে। ষড়ভুজটির বাহুগুলোর বর্ধিত অংশকে ধূসর ও লাল রেখার মাধ্যমে দেখানো হয়েছে।

প্যাসকেলের উপপাদ্য অনুসারে কোন কনিক যেমন— উপবৃত্ত, পরাবৃত্ত অথবা অধিবৃত্তের উপর স্বাধীনভাবে নির্বাচিত ছয়টি বিন্দুকে যে কোন ক্রমানুসারে রেখাংশের মাধ্যমে সংযুক্ত করে একটি ষড়ভুজ গঠন করা হলে ষড়ভুজটির তিন জোড়া বিপরীত বাহু (প্রয়োজনে বাহুর বর্ধিত অংশ) একটি সরল রেখা বরাবর তিনটি বিন্দুতে মিলিত হয়। এ রেখাটি ষড়ভুজটির প্যাসকেল রেখা।