২২/৭ পাই-এর চেয়ে বড় তার প্রমাণ

এই বৃত্তটি নিখুত ২২/৭ বৃত্ত নয়, কারন পাই এর মান ২২/৭ নই।

মূলদ সংখ্যা ${\frac {22}{7}}$, π -এর চেয়ে বড় এই বিখ্যাত গাণিতিক ফলাফলটির বিভিন্ন প্রমাণ প্রাচীনকালেই বের হয়ে গিয়েছিল। নিচে ক্যালকুলাসের কিছু প্রাথমিক ধারণা কাজে লাগিয়ে এটির একটি আধুনিক প্রমাণ দেয়া হল। অন্যান্য মৌলিক প্রমাণের চেয়ে এই ক্যালকুলাস-ভিত্তিক প্রমাণটি অনেক সোজা-সাপ্টা; দিওফান্তুসীয় আসন্নীকরণ তত্ত্বের সঙ্গে এর সম্পর্ক থাকায় এটি গাণিতিকভাবে সুন্দর (elegant)। স্টিভেন লুকাস এই প্রমাণটিকে "One of the more beautiful results related to approximating π" বলে উল্লেখ করেছেন। জুলিয়ান হ্যাভিল-ও π-এর ধারাবাহিক ভগ্নাংশভিত্তিক আসন্নীকরনের উপর একটি আলোচনা শেষে এই প্রমাণটি উল্লেখ করেন এই বলে যে এটি "impossible to resist mentioning"।

পটভূমি

পাই -এর দিওফান্তুসীয় আসন্নীকরণ হিসাবে ^২২⁄_৭ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত। এটি π-এর ধারাবাহিক ভগ্নাংশভিত্তিক বিস্তারের অভিসারী মান। ^২২⁄_৭ যে π থেকে বড় তা সহজে এদের দশমিক বিস্তার থেকে বোঝা সম্ভব।

${\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&\approx 3.14285714\dots \\\pi \,&\approx 3.14159265\dots \end{aligned}}$

পাই-এর এই আসন্নীকরণটি প্রাচীনকাল থেকেই প্রচলিত। ^২২⁄_৭ আসলে π-এর চেয়ে বড়, জ্ঞাত ইতিহাস অনুসারে তার প্রথম প্রমাণ রচনা করেন আর্কিমিডিস, খ্রিস্টপূর্ব ৩য় শতকে। তবে তিনি সম্ভবত এই আসন্নীকরণটি নিজে উদ্ভাবন করেন নি। আর্কিমিডিস দেখান যে একটি বৃত্তের দ্বারা পরিলিখিত ৯৬ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের পরিসীমা এবং বৃত্তটির ব্যাসের যে অনুপাত, তার চেয়ে ^২২⁄_৭-এর মান বড়; স্বাভাবিকভাবেই ^২২⁄_৭ π-এর চেয়েও বড়।

মূল ধারণা

প্রমাণের মূল ধারণাটি সহজে নিচের মত করে প্রকাশ করা যায়‌:

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .$

সুতরাং ²²⁄₇ > π.

বিস্তারিত

যোগজীয়টির (integrand), অর্থাৎ যে ফাংশনটির উপর যোগজীকরণ (integration) সম্পাদন করা হচ্ছে, তার লব ও হর উভয়ই অঋণাত্মক সংখ্যা, কারণ এরা অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যার ঘাতের যোগফল বা গুণফল। আবার যোগজীকরণের নিম্নসীমা ০, উর্ধ্বসীমা ১ থেকে ছোট। ফলে যোগজটি (Integral) ধনাত্মক হবে।

যোগজীকরণ সম্পাদন করলেই কাঙ্ক্ষিত মানটি পাওযা যায় :

$0\,$	$<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$	(লবের বিস্তার)
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$	(বহুপদী ভাগ)
	$=\left.{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right|_{0}^{1}$	(নির্দিষ্ট যোগজীকরণ)
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$	( x' -এর উর্ধ ও নিম্ন সীমা বসানো হল)
	$={\frac {22}{7}}-\pi .$	(যোগ)

ঊর্ধ্ব ও নিম্নসীমা

১৯৪৪ সালে ডালজেল সমাকলনের ঊর্ধ্ব ও নিম্নসীমা বের করেন। তিনি দেখান যে, হরে x -এর মান ১ বসিয়ে নিম্নসীমা ও হরে x -এর মান ০ বসিয়ে উর্ধ্বসীমা বের করা সম্ভব।

${1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.$

কাজেই আমরা পাচ্ছি

${22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.$

সম্ভবত দশমিকের পর তিনঘর পর্যন্ত π -এর মান বের করার বোধহয় এর চেয়ে আর কোন সুন্দর পদ্ধতি নেই। আরও দেখুন Dalzell (1971) ।

আরও দেখুন

• পাই-এর আসন্নীকরণের ইতিহাস
• পাই দিবস
• পাই আসন্নীকরণ দিবস
• ০.৯৯৯.... ১ এর সমান তার প্রমাণ
• ত্রিকোণমিতিক অভেদসমূহের প্রমাণ

বহিঃসংযোগ

• The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.
• The Life of Pi ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৭ মার্চ ২০০৭ তারিখে by Jonathan Borwein—see page 5 for this integral.