সদিক রাশির বীজগণিত

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

যদি একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেস এ একটি ভেক্টর $\overrightarrow\mathbf{a}$ = a₁e₁ + a₂e₂+ a₃e₃ হয় (যেখানে e₁, e₂, e₃ লম্ব একক ভেক্টর), তবে ভেক্টরটির মান নিম্নরূপভাবে নির্ণয় করা সম্ভবঃ

$\left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$

উপরের সূত্রটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ভিত্তিতে কোন ভেক্টর এর মান নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি । যেহেতু e₁ , e₂ , e₃ তিনটি লম্ব একক ভেক্টর, সুতরাং এক্ষেত্রে উপরের সূত্রটি প্রয়োগ করা সম্ভব হয়েছে।

এছাড়া কোন ভেক্টরের ডট গুণন এর বর্গমূল নিয়েও ভেক্টর রাশির মান নির্ণয় করা যায়।

$\left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$

ভেক্টর যোগের নিয়ম

ধরা যাক $\overrightarrow\mathbf{a}$=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ এবং $\overrightarrow\mathbf{b}$=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃, যেখানে e₁, e₂, e₃ লম্ব একক ভেক্টর।

সুতরাং $\overrightarrow\mathbf{a}$ এবং $\overrightarrow\mathbf{b}$ এর যোগফল হবেঃ

$\overrightarrow\mathbf{a}+\overrightarrow\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{e_1} +(a_2+b_2)\mathbf{e_2} +(a_3+b_3)\mathbf{e_3}$

ভেক্টর বিয়োগের নিয়ম

যদি

$\overrightarrow\mathbf{a}$=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ এবং

$\overrightarrow\mathbf{b}$=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃ হয় তবে-

দুটি ভেক্টর $\overrightarrow\mathbf{a}$ এবং $\overrightarrow\mathbf{b}$ এর বিয়োগফল লেখা যায় এভাবেঃ

$\overrightarrow\mathbf{a}-\overrightarrow\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{e_1} +(a_2-b_2)\mathbf{e_2} +(a_3-b_3)\mathbf{e_3}$

ভেক্টর গুণন

ডট গুণন/স্কেলার গুণন

একটি ভেক্টরকে একটি স্কেলার রাশি দ্বারাও গুণ করা যায়,তবে এক্ষেত্রে গুণফলটিও একটি স্কেলার রাশি হয়। যেমনঃ একটি ভেক্টর $\overrightarrow\mathbf{a}$ কে যদি একটি স্কেলার r দ্বারা গুণ করা হয় তবে গুণফলটিকে এভাবে লিখা যায়ঃ

$r\overrightarrow\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e_1} +(ra_2)\mathbf{e_2} +(ra_3)\mathbf{e_3}$

আবার দুটি ভেক্টরের মধ্যে ডট গুণন করলেও গুণফলটি একটি স্কেলার রাশি হয়।দুটি ভেক্টরের ডটগুণফলকে এভাবে লেখা যায়ঃ

$\overrightarrow\mathbf{a} \cdot \overrightarrow\mathbf{b} = \langle a_1, a_2, \dots, a_n \rangle \cdot \langle b_1, b_2, \dots, b_n \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

এখানে $\overrightarrow\mathbf{a}$ এবং $\overrightarrow\mathbf{b}$ হলো n ডাইমেনসনের ভেতর অবস্থিত দুটি ভেক্টর; a₁, a₂,... ......, a_n হলো $\overrightarrow\mathbf{a}$এর স্থানাঙ্ক; এবং b₁, b₂, ........., b_n হলো $\overrightarrow\mathbf{b}$ এর স্থানাঙ্ক.

ভেক্টর বীজগণিতের সূত্র সমূহ

ত্রিভুজ সূত্র

কোন ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু যদি একই ক্রমে দুটি একই ধরনের ভেক্টরকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে।

বহুভুজ সূত্র

দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলোকে যদি এমন ভাবে একই ক্রমে সাজানো হয় যেন প্রথম ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শেষ ভেক্টর রাশির শীর্ষবিন্দু যোগ করলে একটি বহুভুজ তৈরি হয় তবে-ঐ বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টর রাশিগুলোর লব্ধি নির্দেশ করে।

সামান্তরিক সূত্র

যদি একটি সামান্তরিকের কোন কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত পরস্পর সন্নিহিত দুটি বাহুদ্বারা কোন বিন্দুতে ক্রিয়াশীল একই ধরনের দুটি ভেক্টরের মান ও দিক প্রকাশ করা যায় তবে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা ভেক্টরদ্বয়ের মান ও দিক প্রকাশ করা যাবে।

বিনিময় সূত্র

$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}$

বণ্টন সূত্র

$m(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})= m\overrightarrow{A}+m\overrightarrow{B}$

সংযোগ সূত্র

$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+\overrightarrow{C}= \overrightarrow{A}+(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})$