সদিক রাশির বীজগণিত

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্ণয়[সম্পাদনা]

যদি একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেস এ একটি ভেক্টর  \overrightarrow\mathbf{a} = a1e1 + a2e2+ a3e3 হয় (যেখানে e1, e2, e3 লম্ব একক ভেক্টর), তবে ভেক্টরটির মান নিম্নরূপভাবে নির্ণয় করা সম্ভবঃ

 \left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\| = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}

উপরের সূত্রটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ভিত্তিতে কোন ভেক্টর এর মান নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি । যেহেতু e1 , e2 , e3 তিনটি লম্ব একক ভেক্টর, সুতরাং এক্ষেত্রে উপরের সূত্রটি প্রয়োগ করা সম্ভব হয়েছে।

এছাড়া কোন ভেক্টরের ডট গুণন এর বর্গমূল নিয়েও ভেক্টর রাশির মান নির্ণয় করা যায়।

 \left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}

ভেক্টর যোগের নিয়ম[সম্পাদনা]

ধরা যাক  \overrightarrow\mathbf{a} =a1e1 + a2e2 + a3e3 এবং \overrightarrow\mathbf{b}=b1e1 + b2e2 + b3e3, যেখানে e1, e2, e3 লম্ব একক ভেক্টর।

সুতরাং  \overrightarrow\mathbf{a} এবং \overrightarrow\mathbf{b} এর যোগফল হবেঃ

 \overrightarrow\mathbf{a} + \overrightarrow\mathbf{b} 
=(a_1+b_1)\mathbf{e_1}
+(a_2+b_2)\mathbf{e_2}
+(a_3+b_3)\mathbf{e_3}

দুইটি ভেক্টরের যোগ[সম্পাদনা]

দুইয়ের অধিক ভেক্টরের যোগ[সম্পাদনা]

ভেক্টর বিয়োগের নিয়ম[সম্পাদনা]

যদি

 \overrightarrow\mathbf{a} =a1e1 + a2e2 + a3e3 এবং
 \overrightarrow\mathbf{b} =b1e1 + b2e2 + b3e3 হয় তবে-

দুটি ভেক্টর  \overrightarrow\mathbf{a } এবং  \overrightarrow\mathbf{b} এর বিয়োগফল লেখা যায় এভাবেঃ

 \overrightarrow\mathbf{a} - \overrightarrow\mathbf{b} 
=(a_1-b_1)\mathbf{e_1}
+(a_2-b_2)\mathbf{e_2}
+(a_3-b_3)\mathbf{e_3}

ভেক্টর গুণন[সম্পাদনা]

ডট গুণন/স্কেলার গুণন[সম্পাদনা]

একটি ভেক্টরকে একটি স্কেলার রাশি দ্বারাও গুণ করা যায়,তবে এক্ষেত্রে গুণফলটিও একটি স্কেলার রাশি হয়। যেমনঃ একটি ভেক্টর \overrightarrow\mathbf{a} কে যদি একটি স্কেলার r দ্বারা গুণ করা হয় তবে গুণফলটিকে এভাবে লিখা যায়ঃ

r \overrightarrow\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e_1}
+(ra_2)\mathbf{e_2}
+(ra_3)\mathbf{e_3}

আবার দুটি ভেক্টরের মধ্যে ডট গুণন করলেও গুণফলটি একটি স্কেলার রাশি হয়।দুটি ভেক্টরের ডটগুণফলকে এভাবে লেখা যায়ঃ

 \overrightarrow\mathbf{a} \cdot  \overrightarrow\mathbf{b} = \langle a_1, a_2, \dots, a_n \rangle \cdot \langle b_1, b_2, \dots, b_n \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n

এখানে  \overrightarrow\mathbf{a} এবং  \overrightarrow\mathbf{b} হলো n ডাইমেনসনের ভেতর অবস্থিত দুটি ভেক্টর; a1, a2,... ......, an হলো  \overrightarrow\mathbf{a} এর স্থানাঙ্ক; এবং b1, b2, ........., bn হলো  \overrightarrow\mathbf{b} এর স্থানাঙ্ক.

ক্রস গুণন[সম্পাদনা]

ভেক্টর বীজগণিতের সূত্র সমূহ[সম্পাদনা]

ত্রিভুজ সূত্র[সম্পাদনা]

কোন ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু যদি একই ক্রমে দুটি একই ধরনের ভেক্টরকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে।

বহুভুজ সূত্র[সম্পাদনা]

দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলোকে যদি এমন ভাবে একই ক্রমে সাজানো হয় যেন প্রথম ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শেষ ভেক্টর রাশির শীর্ষবিন্দু যোগ করলে একটি বহুভুজ তৈরি হয় তবে-ঐ বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টর রাশিগুলোর লব্ধি নির্দেশ করে।

সামান্তরিক সূত্র[সম্পাদনা]

যদি একটি সামান্তরিকের কোন কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত পরস্পর সন্নিহিত দুটি বাহুদ্বারা কোন বিন্দুতে ক্রিয়াশীল একই ধরনের দুটি ভেক্টরের মান ও দিক প্রকাশ করা যায় তবে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা ভেক্টরদ্বয়ের মান ও দিক প্রকাশ করা যাবে।

বিনিময় সূত্র[সম্পাদনা]

 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}

বণ্টন সূত্র[সম্পাদনা]

m( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} )=
m \overrightarrow{A}+m\overrightarrow{B}

সংযোগ সূত্র[সম্পাদনা]

(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+\overrightarrow{C}=
\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})