সদিক রাশি

যে সকল রাশি কে প্রকাশ করবার জন্য মান ও দিক উভয়েরই প্রয়োজন হয় তাদেরকে সদিক রাশি (ভেক্টর) বলা হয়। পদার্থবিজ্ঞান ও গাণিতিক ক্ষেত্রে ভেক্টরের ভূমিকা অনন্য।

ভেক্টর উপস্থাপন

সাধারনভাবে কোন অক্ষর দ্বারা ভেক্টরকে বোঝাতে হলে অক্ষরটিকে বোল্ড করে দেখানো হয় (যেমন: a )। কিন্তু হাতে লেখার সময় ভেক্টর বোঝাতে সাধারণত অক্ষরটির উপরে একটি তীর চিহ্ন (যেমন: $\vec{a}$) অথবা অক্ষরটির নিচে দাগ দিয়ে (যেমন: a ) ভেক্টর বুঝানো হয়ে থাকে। ধরা যাক একটি সরলরেখা AB দ্বারা A বিন্দু থেকে B বিন্দুগামী একটি ভেক্টরকে নির্দেশ করছে। তাহলে জ্যামিতিক ভাবে এটিকে নিম্নের চিত্রের মত করে উপস্থাপন করা যেতে পারে-

প্রকারভেদ

গাণিতিক ব্যবহার অনুযায়ি ভেক্টরকে নিম্নরূপ ভাবে বিভক্ত করা যায়।

সমান ভেক্টর

সমজাতীয় দুটি ভেক্টর এর মান ও দিক যদি একই হয় তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে।

বিপরীত ভেক্টর

দুটি ভেক্টরের মান সমান হলে কিন্তু দিক ভিন্ন হলে তাদেরকে বিপরীত ভেক্টর বলে।

অবস্থান ভেক্টর

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে ঐ স্থানের কোনবিন্দুর অবস্থানকে নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয় তাদের কে অবস্তান ভেক্টর বলে।

একক ভেক্টর

যে সব ভেক্টরের মান একক তাদেরকে একক ভেক্টর বলা হয়।

শূন্য ভেক্টর

যে সব ভেক্টরের মান 'শূন্য' তাদের কে শূন্য ভেক্টর বলা হয়।

সমতলীয় ভেক্টর

দুই বা দুই এর অধিক ভেক্টর যদি একই তলে অবস্থান করে তবে তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

আয়ত একক ভেক্টর

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় X-অক্ষ,Y-অক্ষ এবং Z-অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর বিবেচনা করা হয় তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে।

সমরেখ ভেক্টর

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই তলে একই সরলরেখা বরাবর পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলা হয়।

ভেক্টর বীজগণিত

মূল নিবন্ধ: সদিক রাশির বীজগণিত

ভেক্টরের যোগ

ভেক্টর রাশির যোগ সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে হয় না। এর জন্য ভেক্টর জ্যামিতি ব্যবহার করা হয়। দুটি ভেক্টরের যোগফলকে সাধারণত লব্ধি বলা হয়। ধরা যাক , দুটি ভেক্টর a এবং এর b এর লব্ধি a + bবের করতে হবে। এক্ষেত্রে প্রথমে a ভেক্টরটির শীর্ষবিন্দু , b ভেক্টরের পাদবিন্দুতে স্থাপন করতে হবে। এরপর a এর পাদবিন্দু এবং b এর শীর্ষবিন্দু সংযোগকারী রেখা অঙ্কন করতে হবে। এই সংযোজক সরল লেখাটিই a ও b এর লব্ধি নির্দেশ করবে।

অথবা a এবং b ভেক্টরদুটিকে যদি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর মাধ্যমে নির্দেশ করা যায়, তবে সামান্তরিকের কর্ণটিই ভেক্টর a ও b এর লব্ধি নির্দেশ করবে।

ভেক্টরের বিয়োগ

ধরা যাক দুটি ভেক্টর a এবং এর b এর বিয়োগফল বের করতে হবে। এক্ষেত্রে পূর্বের মত প্রথমে a ভেক্টরটির শীর্ষবিন্দু , b ভেক্টরের পাদবিন্দুতে স্থাপন করতে হবে। কিন্তু এবার a এর শীর্ষবিন্দু এবং b এর পাদবিন্দু সংযোগকারী রেখা অঙ্কন করতে হবে।এই সংযোজক সরল লেখাটি দ্বারা a ও b এর বিয়োগফল নির্ণয় করা যাবে।

এছাড়া a ভেক্টরের সাথে ঋণাত্মক b ভেক্টর যোগ করলে a ও b এর বিয়োগফল পাওয়া যাবে।

ডট গুণন/স্কেলার গুণন

দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার হয় তবে তাকে ডট গুণন অথবা স্কেলার গুণন বলা হয়ে থাকে। এবং এই গুণফলের মান রাশিদ্বয়ের মান এসং এদের অন্তর্গত কোনের cosine-এর গুণফলের সমান। গাণিতিক ভাবে এটিকে নিম্নরূপে উপস্থাপন করা যায়-

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta$

এখানে a এবং b হলো দুটি ভেক্টর আর θ হলো a এবং b এর মধ্যকার কোণ।

ক্রস গুণন/ভেক্টর গুণন

দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর হয় তবে তাকে ক্রস গুণন অথবা ভেক্টর গুণন বলা হয়ে থাকে।এবং এই গুণফলের মান রাশিদ্বয়ের মান এসং এদের অন্তর্গত কোনের sine-এর গুণফলের সমান। এবং এই গুণফল এর দিক ডানহাতি স্ক্রু-র নিয়ম অনুসরন করে। গাণিতিক ভাবে এটিকে নিম্নরূপে উপস্থাপন করা যায়-

ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}$

এখানে θ হলো a এবং b এর মধ্যকার কোণ, এর n হলো একক ভেক্টর যেটি a এবং b এর লম্ব বরাবর অবস্থিত। ডান পাশের চিত্রটি লক্ষ্য করলে বিষয়টি আরও পরিষ্কার হবে।

ভেক্টর ক্যালকুলাস

মূল নিবন্ধ: সদিক রাশির ক্যালকুলাস

ভেক্টরকে অনেক সময় ব্যবকলনের মাধ্যমেও (Directional derivative) প্রকাশ করা হয়। ধরা যাক $f(x^\alpha)$ সমীকরনটি একটি ফাংশন এবং $x^\alpha (\sigma)$ সমীকরনটি একটি বক্ররেখা (Curve) উপস্তাপন করে। তাহলে $f$ কে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে-

$\frac{df}{d\sigma} = \frac{dx^\alpha}{d\sigma}\frac{\partial f}{\partial x^\alpha}.$

যেখানে $\alpha$ হচ্ছে নির্দিষ্ট মাত্রার (dimensions এর) Summation convention (যেমন: ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডিয় কাঠামোতে এর মাত্রা ১ থেকে ৩ পর্যন্ত , আবার চতুর্মাত্রিক কাঠামোতে এর মাত্রা হবে ০ থেকে৩ পর্যন্ত)। এখন ধরা যাক যেকোন একটি ভেক্টর $x^\alpha (\sigma)$ বক্র রেখাটির সাথে স্পর্শক রূপে বিদ্যমান। তাহলে ভেক্টর নির্দেশকারী সমীকরনটি হবেঃ

$t^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\sigma}$

এছাড়া ফাংশন বাদ দিয়ে আমরা ভেক্টকে ভেক্টর ব্যবকলন এর মাধ্যমেও (derivative) উপস্থাপন করতে পারি -

$\frac{d}{d\sigma} = t^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}$ সুতরাং বলা যায় কোন নির্দিষ্ট ভেক্টরকে একটি নির্দিষ্ট directional derivative এর মাধ্যমেও প্রাশ করা যায় । তাই ভেক্টরকে এককথায় এভাবে উপস্থাপন করা যায়-

$\mathbf{a} \equiv a^\alpha \frac{\partial}{\partial x^\alpha}$