লুকাস ধারা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

লুকাস ধারা হলো ফিবোনাচ্চি রাশিমালালুকাস রাশিমালার সাধারণ রূপ। ফরাসি গণিতবিদ এদুয়ার লুকার নামানুসারে এই ধারার নামকরণ করা হয়েছে।

পৌনপুনিক সম্পর্ক (Recurrence relations)[সম্পাদনা]

দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,

P^2 - 4Q \neq 0

তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,

U_0(P,Q)=0
U_1(P,Q)=1
U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{  for }n>1

এবং

V_0(P,Q)=2
V_1(P,Q)=P
V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{  for }n>1

বীজগাণিতিক সম্পর্ক[সম্পাদনা]

যদি দ্বিঘাত সমীকরণ

x^2 - Px + Q=0

এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও ab এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{P^2-4Q}}
V_n(P,Q)=a^n+b^n

এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}.

এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে P^2-4Q এর মান ০ না।.

অন্যান্য সম্পর্ক[সম্পাদনা]

লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-

U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}
V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}
U_{2n} = U_n V_n
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n
U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}
V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m}.

বিশেষ নামকরণ[সম্পাদনা]

P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরি লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-

Un(1,−1) : ফিবোনাচ্চি রাশিমালা
Vn(1,−1) : লুকাস রাশিমালা
Un(2,−1) : পেল রাশিমালা
Un(1,−2) : জ্যাকবস্থাল রাশিমালা

প্রয়োগ[সম্পাদনা]

  • [[এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম[] হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরি করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]