রৈখিক ফাংশনাল

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

রৈখিক ফাংশনাল হলো কোন ভেক্টর স্থান থেকে ঐ ভেক্টর স্থানের ফীল্ডে কোন রৈখিক ফাংশন। বিভিন্ন পরিস্থিতিতে একে রৈখিক ফর্ম, বা কো-ভেক্টরও বলা হয়।

কোন ভেক্টর স্থান V এর ফীল্ড যদি F হয়, তবে কোন ফাংশন f: V \rightarrow F একটি রৈখিক ফাংশনাল হবে যদি তা রৈখিক হয়, অর্থাৎ f(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = a\,f(\mathbf{u}) + b\,f(\mathbf{v}) হয়, যেখানে \mathbf{u},\mathbf{v} দুইটি ভেক্টর। লক্ষ্যণীয়, ফাংশনটি নেয় একটি ভেক্টর, ফেরত দেয় একটি স্কেলার

উদাহরণ[সম্পাদনা]

  • ইউক্লিডীয় স্থানে, কোন নির্দিষ্ট ভেক্টর \mathbf{v} এর সাথে অন্তর্নিহিত গুণন বা ডট গুণন প্রক্রিয়াটি একটি রৈখিক ফাংশনাল। এই ফাংশনালটিকে অপর একটি ভেক্টর \mathbf{u} এর উপর প্রয়োগ করলে ফলাফল হয় \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}
  • [a, b] এর উপর সংজ্ঞায়িত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন-দের ভেক্টর স্থানে সমাকলন একটি ফাংশনাল। অর্থাৎ
f \mapsto \int_a^b f(x)\, dx

একটি ফাংশনাল যা একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f নেয় এবং [a, b] এর উপর তার সমাকলিত মান ফেরত দেয়।

দ্বৈত ভেক্টর স্থান[সম্পাদনা]

রৈখিক ফাংশনালরা নিজেরাও একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে (একই ফীল্ডে) যাকে মূল ভেক্টর স্থানের দ্বৈত ভেক্টর স্থান বলা হয়। ক্যাটাগরি তত্ত্বের ভাষায় এই স্থানটির নাম \mbox{Hom}_F (V, F)

ব্যবহার[সম্পাদনা]

  • কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় আগ্রহের ভেক্টর স্থান হলো একটি হিলবার্ট স্থান, যা স্বভাবতই একটি ভেক্টর স্থান। ডিরাকের "ব্রা-কেট" পদ্ধতিতে কোন সিস্টেমের অবস্থা ভেক্টরকে প্রকাশ করা হয় একটি কেট (যেমন |\psi\rangle) এর মাধ্যমে, এবং সম্ভাবনা হিসাব করতে ঐ স্থানের দ্বৈত স্থানের কোন ফাংশনালকে একটি ব্রা (যেমন \langle\phi|) হিসাবে প্রকাশ করে তার উপর প্রয়োগ করা হয় (ফলাফল, একটি "ব্রাকেট", \langle\phi|\psi\rangle, একটি জটিল সংখ্যা, যার পরম মানের বর্গ সম্ভাবনার সমানুপাতিক)।