ব্যবহারকারী:Nokib Sarkar/স্পর্শক

বক্ররেখার স্পর্শক।
লাল রঙ দ্বারা চিহ্নিত বিন্দুটিতে বক্ররেখাটিকে লাল রেখাটি স্পর্শ করেছে

একটি গোলকের সমতলীয় স্পর্শক

জ্যামিতিতে,একটি সমতলীয় বক্ররেখার একটি বিন্দুতে স্পর্শক রেখা (বা কেবল স্পর্শক) হল সে রেখা যা ঐ বিন্দুতে ঐ বক্রকে শুধু স্পর্শ করে।লিবনিজ একে সংজ্ঞায়িত করেন মাধ্যমে লাইন একজোড়া অসীম বন্ধ পয়েন্ট বক্ররেখা উপর. আরো স্পষ্ট করে, একটি সরল রেখা হতে বলা হয়, একটি ট্যানজেন্ট একটি বক্ররেখা y = f (x) একটি বিন্দুতে x = c বক্ররেখা উপর যদি লাইন মাধ্যমে পাস পয়েন্ট (c, f (c)) বক্ররেখা উপর আছে এবং ঢাল f '(c) যেখানে , f ' হয়, ডেরিভেটিভ এর ফল. একটি অনুরূপ সংজ্ঞা প্রযোজ্য স্থান রেখাচিত্র এবং বক্ররেখা মধ্যে n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান.

মাধ্যমে পাস হিসাবে এটা যেখানে বিন্দু, স্পর্শক লাইন, এবং বক্ররেখা দেখা, বলা, বিন্দু tangency, স্পর্শক লাইন "চালু, একই দিক হিসেবে" বক্ররেখা, এবং এইভাবে সেরা সোজা লাইন পড়তা করতে, বক্ররেখা, যে সময়ে.

একইভাবে, স্পর্শক, সমতল , একটি পৃষ্ঠ একটি নির্দিষ্ট সময়ে হয় সমতল যে, "শুধু ছোঁয়া", পৃষ্ঠ, যে সময়ে. ধারণা একটি স্পর্শক হল সবচেয়ে মৌলিক ধারণার মধ্যে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং করা হয়েছে, ব্যাপকভাবে সাধারণ; দেখতে স্পর্শক স্থান.

শব্দ "tangent" থেকে আসে, ল্যাটিন tangere, 'স্পর্শ'.

ইতিহাস

ইউক্লিড করে তোলে, বিভিন্ন রেফারেন্স থেকে স্পর্শক (ἐφαπτομένη ephaptoménē) একটি বৃত্ত মধ্যে বই III এর উপাদান (সি. 300 খ্রিস্টপূর্ব). এ Apollonius কাজ Conics (সি. 225 BC) তিনি সংজ্ঞায়িত একটি স্পর্শক হচ্ছে হিসাবে একটি লাইন যে এই ধরনের অন্য কোন সরল রেখা পারে পতনের মধ্যে, এটা, এবং বক্ররেখা.

আর্কিমিডিস (সি. 287 – সি. 212 খ্রিস্টপূর্ব) পাওয়া ট্যানজেন্ট একটি আর্কিমিডীয় সর্পিল বিবেচনা করে পথ একটি বিন্দু বরাবর চলন্ত বক্ররেখা.

এ 1630s Fermat উন্নত কৌশল adequality নিরূপণ করতে tangents এবং অন্যান্য সমস্যার বিশ্লেষণ এবং ব্যবহৃত এই নিরূপণ করতে tangents করতে অধিবৃত্ত. এর টেকনিক adeqality অনুরূপ নেওয়ার মধ্যে পার্থক্য $f(x+h)$ এবং $f(x)$ এবং বিভাজক দ্বারা একটি শক্তি $h$. স্বাধীনভাবে দেকার্ত তার ব্যবহৃত পদ্ধতি normals উপর ভিত্তি করে পর্যবেক্ষণ যে ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত সবসময় স্বাভাবিক, বৃত্ত নিজেই.

এই পদ্ধতি উন্নয়ন নেতৃত্বে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস মধ্যে 17 শতকের. অনেক মানুষের অবদান. Roberval আবিষ্কৃত একটি সাধারণ পদ্ধতি, অঙ্কন, tangents, বিবেচনা করে একটি বক্ররেখা হিসাবে বর্ণনা দ্বারা একটি চলমান বিন্দু, যার গতি পরিসমাপ্তি বিভিন্ন অঙ্গভঙ্গির সহজ. René-ফ্রাসোয়া দে Sluse এবং জোহানেস Hudde পাওয়া বীজগাণিতিক আলগোরিদিম খোঁজার জন্য tangents. আরও উন্নতির অন্তর্ভুক্ত যারা জন ওয়ালিস এবং ইসহাক স্তূপনেতৃস্থানীয় তত্ত্ব আইজাক নিউটন এবং Gottfried Leibniz.

একটি 1828 সংজ্ঞা একটি স্পর্শক ছিল, "একটি সঠিক লাইন, যা ছোঁয়া একটি বক্ররেখা, কিন্তু যখন যা উত্পাদিত হয় না, এটি কাটা". এই বৃদ্ধ সংজ্ঞা বাধা দেয়, আনতি পয়েন্ট থেকে থাকার কোন স্পর্শক. এটি বরখাস্ত করা হয়েছে এবং আধুনিক সংজ্ঞা হয় সমতুল্য, যারা Leibniz যারা নির্ধারিত স্পর্শক লাইন হিসাবে লাইন মাধ্যমে একজোড়া অসীম বন্ধ পয়েন্ট বক্ররেখা উপর.

স্পর্শক লাইন থেকে একটি বক্ররেখা

একটি স্পর্শক, একটি জ্যাএবং একটি secant একটি বৃত্ত

স্বজ্ঞাত যে ধারণা একটি স্পর্শক লাইন "স্পর্শ", একটি বক্ররেখা তৈরি করা যেতে পারে, আরো স্পষ্ট বিবেচনা করে, ক্রম, সোজা লাইন (secant লাইন) মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী, দুই পয়েন্ট A এবং Bযে যারা উপর থাকা ফাংশন বক্ররেখা. স্পর্শক এ একটি যখন সীমা পয়েন্ট বি পরিমাপক বা থাকে, একটি. অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা, স্পর্শক লাইন উপর নির্ভর করে, একটি নির্দিষ্ট ধরনের গাণিতিক স্নিগ্ধতা, হিসাবে পরিচিত "differentiability." উদাহরণস্বরূপ, যদি দুই বিজ্ঞপ্তি বৃত্তচাপ দেখা একটি ধারালো বিন্দু (vertex) তারপর সেখানে কোন স্বতন্ত্র সংজ্ঞায়িত স্পর্শক এ শীর্ষবিন্দু, কারণ সীমা অগ্রগতি secant লাইন উপর নির্ভর করে দিক, যা বিন্দু " বি" পন্থা শীর্ষবিন্দু.

সবচেয়ে পয়েন্ট, স্পর্শক ছোঁয়া বক্ররেখা উত্তরণ ছাড়া এটা (যদিও এটা হতে পারে, যখন, অব্যাহত ক্রস বক্ররেখা সময়ে অন্যান্য জায়গা থেকে দূরে বিন্দু, স্পর্শক). একটি বিন্দু যেখানে স্পর্শক (এই মুহুর্তে) অতিক্রম বক্ররেখা বলা হয়, একটি আনতি বিন্দু. বৃত্ত, করেন, hyperbolas এবং উপবৃত্ত না আছে কোন আনতি বিন্দু, কিন্তু আরো জটিল রেখাচিত্র আছে না, মত, গ্রাফ, একটি কিউবিক ফাংশনআছে, যা ঠিক এক আনতি বিন্দু, বা একটি sinusoid হয়েছে, যা দুই আনতি পয়েন্ট প্রতি প্রতিটি সময়ের মধ্যে সাইন.

বিপরীতভাবে, এটা ঘটতে পারে যে বক্ররেখা সম্পূর্ণভাবে মিথ্যা, এক দিকে একটি সোজা লাইন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী একটি বিন্দু এটি, এবং এখনো এই সরল রেখা নয়, একটি স্পর্শক লাইন. এই ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, একটি লাইন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী প্রান্তবিন্দু ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজ এবং ছেদ না, এটা অন্যথায়, যেখানে—স্পর্শক লাইন জন্য বিদ্যমান নয়, কারণ উপরোক্ত ব্যাখ্যা. এ উত্তল জ্যামিতিযেমন লাইন বলা হয়, সমর্থন লাইন.

প্রতিটি সময়ে, চলন্ত লাইন, সবসময় স্পর্শক থেকে বক্ররেখা. তার ঢাল হয় অমৌলিক; সবুজ চিহ্ন ইতিবাচক ব্যুৎপন্ন, লাল চিহ্ন নেতিবাচক ব্যুৎপন্ন এবং কালো দাগ শূন্য ব্যুৎপন্ন. বিন্দু (x,y) = (0,1) যেখানে স্পর্শক মিলেছে বক্ররেখা নয়, একটি সর্বোচ্চবা কমপক্ষে, কিন্তু একটি আনতি বিন্দু.

বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির

জ্যামিতিক ধারণা, স্পর্শক লাইন হিসাবে সীমা secant লাইন হিসেবে কাজ করে, প্রেরণা জন্য বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় যে খুঁজে পেতে, স্পর্শক লাইন স্পষ্টভাবে. প্রশ্ন খুঁজে বের করার স্পর্শক লাইন থেকে একটি গ্রাফ বা স্পর্শক লাইন সমস্যা ছিল এক কেন্দ্রীয় প্রশ্ন নেতৃস্থানীয় উন্নয়নের ক্যালকুলাস 17 শতকের মধ্যে. দ্বিতীয় বই, তার জ্যামিতি, René Descartes বলেন , সমস্যা থেকে যেসব স্পর্শক একটি বক্ররেখা", এবং আমি বলতে সাহস, এই যে হয় না শুধুমাত্র সবচেয়ে দরকারী এবং সবচেয়ে সাধারণ সমস্যা জ্যামিতি যে আমি জানি, কিন্তু এমনকি যে আমি কখনো পছন্দসই করতে জানি".

স্বজ্ঞাত বিবরণ:

ধরুন যে একটি বক্ররেখা হিসাবে দেওয়া হয় গ্রাফ এর একটি ফাংশন, y = f(x). খুঁজে পেতে, স্পর্শক লাইন এ পয়েন্ট p = (a, f(a)) বিবেচনা অন্য কাছাকাছি বিন্দু q = (a + h, f(a + h)) বক্ররেখা উপর. এই ঢাল এর secant লাইন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী, p এবং q' সমান পার্থক্য ভাগফল

হিসাবে বিন্দু q পন্থা p, যা অনুরূপ, যার ফলে এইচ এবং ছোট ছোট পার্থক্য ভাগফল যোগাযোগ করা উচিত একটি নির্দিষ্ট সীমিত মান k, যা ঢাল, স্পর্শক লাইন, বিন্দু p. যদি k পরিচিত হয়, সমীকরণ, স্পর্শক লাইন পাওয়া যাবে পয়েন্ট ঢাল ফরম:

আরো কঠোর বিবরণ:

করতে পূর্বের যুক্তি, কঠোর এক ব্যাখ্যা করার দ্বারা কি বোঝানো হয় পার্থক্য ভাগফল সমীপবর্তী একটি নির্দিষ্ট সীমিত মান কে. সুনির্দিষ্ট গাণিতিক সূত্র দ্বারা প্রদত্ত ছিল কোশি 19 শতকের মধ্যে, এবং এর উপর ভিত্তি করে, ধারণা সীমা. ধরুন যে গ্রাফ আছে না, একটি বিরতি বা একটি ধারালো প্রান্ত এ, পি , এবং এটা কেউই পুরাদস্তর কিংবা খুব wiggly কাছাকাছি p. তারপর সেখানে একটি অনন্য মান k যেমন যে হিসাবে এইচ পন্থা 0 পার্থক্য ভাগফল পায় ঘনিষ্ঠ এবং ঘনিষ্ঠ k, এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব তুচ্ছ হয়ে যায় সাথে তুলনা করা, আকার, এইচ, যদি h হয়, যথেষ্ট ছোট. এই বাড়ে, সংজ্ঞা, এবং ঢাল, স্পর্শক লাইন গ্রাফ হিসাবে সীমা পার্থক্য quotients জন্য ফাংশন f. এই সীমা হয় ব্যুৎপন্ন ফাংশন f এ x = a, প্রকাশ করা , f '(a). ব্যবহার ডেরাইভেটিভস, সমীকরণ, স্পর্শক লাইন হতে পারে, বলেন নিম্নরূপ:

$y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$

ক্যালকুলাস প্রদান করে নিয়ম কম্পিউটিং জন্য ডেরাইভেটিভস, যে ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়, সূত্র, যেমন শক্তি ফাংশন, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সূচকীয় ফাংশন, লগারিদম, এবং তাদের বিভিন্ন সমন্বয়. সুতরাং, সমীকরণ এর tangents থেকে গ্রাফ সব এই ফাংশন, সেইসাথে অনেক অন্যদের দ্বারা পাওয়া যেতে পারে, পদ্ধতি, এর ক্যালকুলাস.

ক্যালকুলাস প্রমান আছে যে ফাংশন এবং পয়েন্ট উপর তাদের গ্রাফ, যার জন্য সীমা নির্ণয় ঢাল, স্পর্শক লাইন নেই. এই পয়েন্ট জন্য ফাংশন f হয়, অ-differentiable. আছে দুটি সম্ভাব্য কারণের জন্য পদ্ধতি খুঁজে বের করে tangents উপর ভিত্তি করে, সীমা এবং ডেরিভেটিভস করতে ব্যর্থ: হয় জ্যামিতিক স্পর্শক রয়েছে, কিন্তু এটি একটি উল্লম্ব লাইন করা যাবে না, যা দেওয়া নির্দেশ-ঢাল ফর্ম যেহেতু, এটি না থাকে, একটি ঢাল, বা গ্রাফ চিত্র প্রদর্শনীতেও এক, তিন আচরণে যে precludes একটি জ্যামিতিক স্পর্শক.

গ্রাফ y = x^1/3 প্রকাশ করে প্রথম সম্ভাবনা: এখানে পার্থক্য ভাগফল এ একটি = 0 হয়, সমান এইচ^1/3/h = h^-2/3হয়ে যায়, যা খুব বড় হিসাবে এইচ পন্থা 0. এই বক্ররেখা একটি স্পর্শক লাইন এ উৎপত্তি হয় যে মন্দিরটি.

গ্রাফ y = x^2/3 প্রকাশ করে আরেকটি সম্ভাবনা: এই গ্রাফ আছে, একটি শিখর সময়ে উৎপত্তি. এর মানে হল এই যে, যখন এইচ পন্থা 0 পার্থক্য ভাগফল এ একটি = 0 পন্থা, প্লাস বা মাইনাস অসীম উপর নির্ভর করে এর লক্ষণ এক্স. এইভাবে উভয় শাখা, বক্ররেখা হয়, কাছে অর্ধেক উল্লম্ব লাইন, যার জন্য y=0,, কিন্তু কেউ নিকটবর্তী নেতিবাচক অংশ এই লাইন. মূলত, নেই কোন স্পর্শক এ উৎপত্তি এই ক্ষেত্রে, কিন্তু কিছু প্রসঙ্গ এক বিবেচনা করতে পারে, এই লাইন হিসাবে একটি স্পর্শক, এবং এমনকি, বীজগাণিতিক জ্যামিতিহিসাবে, একটি ডবল স্পর্শক.

wiki lexis গ্রাফ y = |x| এর পরম মান ফাংশন নিয়ে গঠিত দুটি সোজা লাইন সঙ্গে বিভিন্ন ঢালে এ যোগদান উৎপত্তি. হিসাবে একটি বিন্দু q পন্থা উৎপত্তি থেকে ডানদিকে secant লাইন সবসময় ঢাল 1. হিসাবে একটি বিন্দু q পন্থা উৎপত্তি থেকে বাকি secant লাইন সবসময় ঢাল -1. অতএব, নেই কোন অনন্য স্পর্শক থেকে গ্রাফ এ উৎপত্তি. হচ্ছে দুটি ভিন্ন (কিন্তু সসীম) ঢালে বলা হয়, একটি কোণায়.

পরিশেষে, যেহেতু differentiability বোঝা ধারাবাহিকতা, contrapositive যুক্তরাষ্ট্র অপ্রচলন বোঝা অ-differentiability. কোনো ধরনের লাফ বা বিন্দু অপ্রচলন হবে কোন স্পর্শক লাইন. এই অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে যেখানে ক্ষেত্রে এক ঢাল পন্থা ইতিবাচক অসীম, যখন অন্যান্য পন্থা নেতিবাচক অসীম নেতৃস্থানীয়, একটি অসীম লাফ অপ্রচলন

সমীকরণ

যখন বক্ররেখা দ্বারা দেওয়া হয়, y = f(x) তারপর ঢাল, স্পর্শক হয় ${\frac {dy}{dx}},$ যাতে করে পয়েন্ট–ঢাল সূত্র এবং সমীকরণ, স্পর্শক লাইন এ (X, Y) হয়

$y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)$

যেখানে (x, y) হয় স্থানাঙ্ক কোন বিন্দু, স্পর্শক লাইন, এবং যেখানে ডেরিভেটিভ মূল্যায়ন করা হয় এ $x=X$.

যখন বক্ররেখা দ্বারা দেওয়া হয়, y = f(x), স্পর্শক লাইন এর সমীকরণ পাওয়া যাবে, ব্যবহার করে বহুপদী বিভাগ বিভক্ত করা $f\,(x)$ দ্বারা $(x-X)^{2}$; তাহলে বাকি দ্বারা প্রকাশ করা হয় $g(x)$তারপর সমীকরণ, স্পর্শক লাইন দ্বারা দেওয়া হয়

যখন সমীকরণ বক্ররেখা দেওয়া হয় ফর্ম চ(x, y) = 0, তাহলে এর মান ঢাল দ্বারা পাওয়া যেতে পারে, অন্তর্নিহিত বিভেদপ্রদান

সমীকরণ থেকে, স্পর্শক লাইন এ একটি বিন্দু (X,Y) যে যেমন , f(X,Y) = 0 হয়, তাহলে

এই সমীকরণ অবশেষ সত্য যদি ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ কিন্তু ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ (এই ক্ষেত্রে ঢাল, স্পর্শক হয়, অসীম). যদি ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ স্পর্শক লাইন সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং বিন্দু (X,Y) বলা হয় একবচন.

জন্য বীজগাণিতিক বক্ররেখা, কম্পিউটেশন হতে পারে, সরলীকৃত কিছুটা দ্বারা রূপান্তর করতে সজাতি স্থানাঙ্ক. বিশেষভাবে যাক, সজাতি সমীকরণ বক্ররেখা হতে g(x, y, z) = 0 যেখানে g হল একটি সজাতি ফাংশন ডিগ্রী এন. তারপর যদি (X, Y, Z) উপর মিথ্যা বক্ররেখা, অয়লারের উপপাদ্য বোঝা

$${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$$

এটা অনুসরণ করে যে সজাতি সমীকরণ, স্পর্শক লাইন হয়

সমীকরণ থেকে, স্পর্শক লাইন কার্টিজিয়ান স্থানাঙ্ক দ্বারা পাওয়া যেতে পারে, সেটিং, z=1 এই সমীকরণ.

এই আবেদন করতে করতে বীজগাণিতিক বক্ররেখা লিখুন f(x, y) হিসাবে

$f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,$

যেখানে প্রতিটি u_r is the sum of all পরিপ্রেক্ষিতে ডিগ্রী আর. এই সজাতি সমীকরণ বক্ররেখা হয়, তাহলে

আবেদন উপরের সমীকরণ এবং সেটিং z=1 উত্পাদন

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0$

হিসাবে সমীকরণ, স্পর্শক লাইন. সমীকরণ মধ্যে এই ফর্ম প্রায়ই সহজ ব্যবহার করার অভ্যাস থেকে কোন অতিরিক্ত সরলীকরণ প্রয়োজন হয় পরে, এটি প্রয়োগ করা হয়.

$x=x(t),\quad y=y(t)$

তারপর ঢাল, স্পর্শক হয়

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}$

দেবার জন্য সমীকরণ, স্পর্শক লাইন এ $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ হিসাবে

${\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).$

যদি ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ স্পর্শক লাইন সংজ্ঞায়িত করা হয়. যাইহোক, এটা ঘটতে পারে যে, স্পর্শক লাইন বিদ্যমান, এবং হতে পারে, কলিত থেকে একটি অন্তর্নিহিত সমীকরণ বক্ররেখা.

স্বাভাবিক লাইন থেকে একটি বক্ররেখা

লাইন, ঋজু এবং স্পর্শক লাইন থেকে একটি বক্ররেখা এ বিন্দু tangency বলা হয়, স্বাভাবিক লাইন থেকে বক্ররেখা যে সময়ে. ঢালে এর ঋজু লাইন আছে পণ্য -1, তাই যদি সমীকরণ বক্ররেখা হয়, y = f(x) তারপর ঢাল স্বাভাবিক লাইন হয়

$-{\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$

এবং এটা অনুসরণ করে যে সমীকরণ স্বাভাবিক লাইন এ (X, Y) হয়

$(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.$

একইভাবে, যদি সমীকরণ বক্ররেখা আছে, ফর্ম চ(x, y) = 0, তাহলে সমীকরণ স্বাভাবিক লাইন দ্বারা দেওয়া হয়

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.$

$x=x(t),\quad y=y(t)$

তারপর সমীকরণ স্বাভাবিক লাইন

${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$

কোণ মধ্যে বক্ররেখা

কোণ মধ্যে দুটি রেখাচিত্র একটি সময়ে তারা যেখানে ছেদ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় কোণ মধ্যে তাদের স্পর্শক লাইন এ যে বিন্দু. আরো নির্দিষ্টভাবে, দুই বক্ররেখা হতে বলেন হয় ট্যানজেন্ট একটি সময়ে যদি তারা একই ট্যানজেন্ট একটি সময়ে, এবং লম্ব, তাহলে তাদের স্পর্শক লাইন হয় লম্ব.

একাধিক tangents একটি সময়ে

এই limaçon trisectrix: একটি বক্ররেখা সঙ্গে দুই tangents এ উৎপত্তি.

সূত্র উপরে ব্যর্থ হলে, বিন্দু, একটি একবচন পয়েন্ট. এই ক্ষেত্রে হতে পারে, দুই বা ততোধিক শাখা, বক্ররেখা মাধ্যমে পাস যে পয়েন্ট প্রতিটি শাখা হচ্ছে তার নিজের স্পর্শক লাইন. বিন্দু যখন উৎপত্তি হয়, সমীকরণ, এই লাইনের জন্য পাওয়া যাবে বীজগাণিতিক বক্ররেখা দ্বারা ফ্যাক্টরিং সমীকরণ দ্বারা গঠিত সব দূর, কিন্তু সর্বনিম্ন ডিগ্রী পদ থেকে মূল সমীকরণ. যেহেতু কোনো সময়ে তৈরি করা যেতে পারে উৎপত্তি দ্বারা একটি পরিবর্তন ভেরিয়েবল, এই দেয় একটি পদ্ধতি খুঁজে বের করার জন্য, স্পর্শক লাইন এ কোন একবচন পয়েন্ট.

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ এর limaçon trisectrix ডান দেখানো হয়

$(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

বিস্তৃত এই এবং সব দূর, কিন্তু পরিপ্রেক্ষিতে 2 ডিগ্রী দেয়

$a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,$

যখন যা করেছিল, হয়ে

$y=\pm {\sqrt {3}}x.$

সুতরাং, এই সমীকরণ দুটি স্পর্শক লাইন মাধ্যমে উৎপত্তি.

যখন বক্ররেখা হয় না, স্ব-ক্রসিং স্পর্শক এ একটি রেফারেন্স পয়েন্ট হতে পারে না এখনও স্বতন্ত্র হতে সংজ্ঞায়িত কারণ, বক্ররেখা নয় differentiable যে সময়ে, যদিও, এটা differentiable অন্যত্র. এই ক্ষেত্রে , বাম এবং ডান ডেরাইভেটিভস, হয়, হিসাবে সংজ্ঞায়িত সীমা নিয়ে ব্যুৎপন্ন হিসাবে, যা বিন্দু, এটা মূল্যায়ন করা হয় পন্থা রেফারেন্স বিন্দু থেকে, যথাক্রমে, বাম (নিম্ন মান) বা ডান (উচ্চ মানের). উদাহরণস্বরূপ, বক্ররেখা , y = |x | নয় differentiable এ x = 0: তার বাম এবং ডান ডেরাইভেটিভস আছে নিজ নিজ ঢালে -1 এবং 1; tangents, যে সময়ে ঐ ঢালে বলা হয়, বাম এবং ডান tangents.

কখনও কখনও ঢালে বাম এবং ডান স্পর্শক লাইন সমান হয়, তাই, স্পর্শক লাইন, কাকতালীয়ভাবে. এই সত্য হয়, উদাহরণস্বরূপ, বক্ররেখা , y = x ^2/3, যার জন্য, উভয় বাম এবং ডান ডেরাইভেটিভস এ x = 0 হয়, অসীম; উভয় বাম এবং ডান স্পর্শক লাইন আছে, সমীকরণ, x = 0.

বৃত্তের স্পর্শক

দুই জোড়া বৃত্ত স্পর্শক. উপরে অন্ত এবং নীচের বাইরে স্পর্শক

দুটি বৃত্ত অ-সমান ব্যাসার্ধ, উভয় একই সমতল হতে বলেন হয়, স্পর্শক, একে অপরের সাথে তারা দেখা হলে এ মাত্র এক পয়েন্ট. Equivalently, দুটি বৃত্তসঙ্গে, ব্যাসার্ধ এতো আছে আর_আমি এবং সেন্টার এ (x_{, i}, y_আমি) জন্য, আমি = 1, 2 হতে বলেন হয়, স্পর্শক, একে অপরের সাথে যদি

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,$

• দুটি বৃত্ত হয়, বাইরে, স্পর্শক , তাহলে দূরত্ব মধ্যে তাদের কেন্দ্র সমান সমষ্টি তাদের অন্তর্ভুক্ত.

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.\,$

• দুটি বৃত্ত হয়, অন্ত স্পর্শক , তাহলে দূরত্ব মধ্যে তাদের কেন্দ্র সমান, পার্থক্য মধ্যে তাদের অন্তর্ভুক্ত.

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.\,$

উপরিভাগ এবং উচ্চ মাত্রিক নানাবিধ

এই স্পর্শক সমতল থেকে একটি পৃষ্ঠ একটি নির্দিষ্ট সময়ে p সংজ্ঞায়িত করা হয়, একটি অনুরূপ ভাবে, স্পর্শক লাইন এর ক্ষেত্রে বক্ররেখা. এটা সেরা সন্নিকর্ষ পৃষ্ঠ দ্বারা একটি সমতল, এ, পি, এবং প্রাপ্ত করা যাবে হিসাবে, সীমিত এর অবস্থান প্লেন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী, 3 স্বতন্ত্র পয়েন্ট উপরে বন্ধ, পি হিসাবে এই পয়েন্ট একই বিন্দুতে p. আরো সাধারণভাবে, সেখানে একটি k-মাত্রিক স্পর্শক স্থান প্রতিটি বিন্দু একটি k-মাত্রিক নানাবিধ মধ্যে n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান.

আরও দেখুন

• নিউটনের পদ্ধতি
• স্বাভাবিক (জ্যামিতি)
• আপতিত বৃত্ত
• আপতিত বক্ররেখা
• ঋজু
• Subtangent
• সমর্থন লাইন
• স্পর্শক শঙ্কু
• Tangential কোণ
• Tangential কম্পোনেন্ট
• স্পর্শক লাইন, বৃত্ত
• সংখ্যাধিক্য (গণিত)#আচরণের একটি বহুপদী ফাংশন কাছাকাছি একটি একাধিক রুট
• বীজগাণিতিক বক্ররেখা#ট্যানজেন্ট একটি সময়ে

সূত্র

• J. Edwards (১৮৯২)। Differential Calculus। MacMillan and Co.। পৃষ্ঠা 143 ff.। 

বাহ্যিক লিঙ্ক

• Hazewinkel, Michiel, এড. (2001) [1994], "স্পর্শক লাইন", Encyclopedia of Mathematics, স্প্রিঙ্গের বিজ্ঞান+ব্যবসা মিডিয়া B. V. / ক্লুঅয়ের অ্যাকাডেমিক পাবলিশার্স, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4
• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Tangent Line"।
• ট্যানজেন্ট একটি বৃত্ত সঙ্গে ইন্টারেক্টিভ অ্যানিমেশন
• স্পর্শক ও প্রথম ডেরিভেটিভ — একটি ইন্টারেক্টিভ সিমুলেশন

[[বিষয়শ্রেণী:গণিত]] [[বিষয়শ্রেণী:ব্যবকলনীয় ক্যালকুলাস]] [[বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী জ্যামিতি]] [[বিষয়শ্রেণী:মৌলিক গণিত]] [[বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা]]