পেল সমীকরণ

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
Pell's equation for n = 2 and six of its integer solutions

পেল সমীকরণ হলো নিম্নোক্ত বিশিষ্ট ডায়োফন্টাইন সমীকরণ,

\,x^2 - Dy^2 = 1, যেখানে \,D পূর্ণবর্গ নয় এমন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

জন পেলের(১৬১০-১৬৮৫) নামানুসারে এই সমীকরণের নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস[সম্পাদনা]

৪০০ খ্রীঃপূঃ তে ভারত এবং গ্রীসে এই পেল সমীকরণ এর চর্চা ছিল। তারা মূলত

x^2-2y^2=1\,

এই সমীকরণে বেশী নিযুক্ত ছিলেন কারণ এর থেকে ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান বের করা যায়। যদি xy এর সমাধান হয় তাহলে x/y √2 এর আসন্ন মান হবে। যেমন বৌধায়ন বের করেন যে x = ১৭, y = ১২ ও x = ৫৭৭, y =৪০৮ এই সমীকরণের সমাধান তাই ১৭/১২ ও ৫৭৭/৪০৮ ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান।

পরে আর্কিমিডিস ৩ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান ১৩৫১/৭৮০ বের করেন।

ডায়োফ্যান্টাস ২৫০ খ্রীঃ

 a^2 x^2+c=y^2, বিবেচনা করেন যা পেল সমীকরণ এর সমতুল্য।

এবং ব্রহ্মগুপ্ত একটি অভেদ বের করেন

(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2

যা ব্রহ্মগুপ্তের অভেদ নামে পরিচিত। এর থেকে তিনি x^2 - Ny^2 = k এই সমীকরণের (x_1, y_1, k_1) আর (x_2, y_2, k_2) দুটি সমাধান থেকে তৃতীয় সমাধান :(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2) and (x_1x_2 - Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 - x_2y_1 \,,\, k_1k_2). বের করেন।

১১৫০ খ্রীঃ প্রথম পেল সমীকরণের সাধারণ পদ্ধতি বের করেন দ্বিতীয় ভাস্কর। তার পদ্ধতির নাম চক্রবাল পদ্ধতি। এতে (a,b,k) একটি ট্রিপলেট এবং সাধারণ (m, 1, m^2 - N) ট্রিপলেট থেকে (am + Nb, a+bm, k(m^2-N)) নতুন ট্রিপলেট বের করেন যা থেকে তিনি স্কেল ডাউন করে নতুন ট্রিপলেট

\left( \frac{am+Nb}{k} \,,\, \frac{a+bm}{k} \,,\, \frac{m^2-N}{k} \right). বের করেন।

সমাধান[সম্পাদনা]

প্রাথমিক সমাধান[সম্পাদনা]

যদি \tfrac{h_i}{k_i}, sqrt(n) এর আবৃত ভগ্নাংশ এর অভিসারীসমূহের ধারা (sequence of convergents) হয়, তাহলে কোনো i এর জন্য x1 = hi এবং y1 = ki অর্থাৎ (x1,y1) পেল সমীকরণটির একটি সমাধান হবে। একে প্রাথমিক সমাধান(fundamental solution) বলে।

প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধান[সম্পাদনা]

একটি প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধানে আসা যায়। যেমন- বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে

x_k + y_k\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^k.

এবং পুনরাবৃত্তি/পৌনপুনিক সম্বন্ধ (recurrence relation) দিয়ে

\displaystyle x_{k+1} = x_1 x_k + n y_1 y_k,
\displaystyle y_{k+1} = x_1 y_k + y_1 x_k.

বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে অনেক সময়ে আরো সহজে লেখা যায়

x_1+y_1\sqrt n = \prod_{i=1}^t (a_i + b_i\sqrt n)^{c_i}

উদাহরণ[সম্পাদনা]

যেমন n = 7 এর জন্য অর্থাৎ

\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1.এর জন্য
h / k (Convergent) h2 −7k2 (Pell-type approximation)
2 / 1 −3
3 / 1 +2
5 / 2 −3
8 / 3 +1

সুতরাং (8, 3) এখানে প্রাথমিক সমাধান।

বহির্সংযোগ[সম্পাদনা]