পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা

পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা (ইংরেজি ভাষায়: Surface brightness) হল, প্রতি একক ক্ষেত্রফল থেকে প্রতি একক সময়ে আসা শক্তি। সেক্ষেত্রে এর একক হওয়া উচিত ওয়াট প্রতি বর্গমিটার। এই এককে প্রকাশ করা গেলেও এক্সট্রাগ্যালাক্টিক জ্যোতির্বিজ্ঞানে বিভিন্ন ছায়াপথের পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা পরিমাপ করা হয় সৌর প্রভা প্রতি বর্গপারসেক এককে। একে ওয়াট প্রতি বর্গমিটারে পরিবর্তন করা যায় এভাবে-

$1 L_{\odot} = 3.86 \times 10^{26} W$

$1 pc = 3.086 \times 10^{16} m$

$1 L_{\odot} pc^{-2} = 4.05 \times 10^{-7} Wm^{-2}$

সূর্যের পরম মান ব্যবহার করে এই পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতাকে মান প্রতি বর্গআর্কসেকেন্ড এও প্রকাশ করা যায়, দূরত্ব মাপাঙ্ক ব্যবহার করে। সূর্যের দূরত্ব এবং পরম মান জানা আছে। এ থেকে তার আপাত মান বের করা সম্ভব। এখন সূর্যের দূরত্ব ১ এইউ এর বদলে যদি ১ পারসেক নেয়া হয় তাহলে প্রতি বর্গআর্কসেকেন্ডে আপাত মান পাওয়া সম্ভব যাকে বলা হয় প্রতি একক আর্কসেকেন্ডে পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা। সমীকরণ এমন:

$\mu_B - M_{B\odot} = 5 log \frac{d}{10} = 5 log \frac{1}{10} pc = 5 log 0.1\ radians = 5 log (0.1 \times \frac{180}{\pi} \times 60 \times 60\ arcsec)$

$\Rightarrow \mu_B = M_{B\odot} + 5 log (20626\ arcs) = 5.48 + 5 log (20626\ arcs) = 27.05 mag\ arcs^{-2}$

যেকোন ছায়াপথের যেকোন ক্ষেত্রফলের উজ্জ্বলতা পরিমাপের সমীকরণ হচ্ছে:

$\mu_B = M + 2.5 \cdot \log {\theta_R}^2$

যেখানে, M ছায়াপথটির পরম মান এবং R হচ্ছে ধর্তব্য ব্যসার্ধ্য (আর্কসেকেন্ডে)।

একটি সম্পূর্ণ ছায়াপথের পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা বের করা বেশ কঠিন। কারণ তাদের সুস্পষ্ট ব্যসার্ধ্য চিহ্নিত করা যায় না। তবে যে কার্যকরী ব্যাসার্ধ্য ধরে একটি গড় প্রভা বের করা সম্ভব। সেই প্রভা থেকে বের করা সম্ভব পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা। পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা "S" হলে,

$S = \frac{L}{2\pi{R_e}^2} \times \frac {1}{L_{\odot}}$

পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতার সমীকরণ

প্রতি বর্গ আর্কসেকেন্ডে ফ্লাক্সই হচ্ছে পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা।

$I=\frac{F}{\alpha} = \cfrac{\cfrac{L}{4\pi d^2}}{\cfrac{D^2}{d^2}}=\frac{L}{4 \pi D^2} \ L_{\odot}.pc^{-2}$

$I=\frac{\Delta L}{\Delta S} \Rightarrow \Delta L=I\Delta S=I D^2=I d^2 \alpha^2$

$\Rightarrow -2.5 log \Delta L = -2.5 log I -2.5 log d^2 -2.5 log \alpha^2$

কিন্তু $M - M_{\odot} = -2.5 log L + 2.5 log L_{\odot} = -2.5 log \frac{L}{L_{\odot}}$

অতএব, $M - M_{\odot} = -2.5 log I -2.5 log d^2 -2.5 log \alpha^2 \Rightarrow M = -2.5 log I - 5 log d -2.5 log \alpha^2 + M_{\odot}$

আবার, $\mu - M = 5\log d - 5 \Rightarrow \mu = M+ 5\log d - 5 = - 2.5 log I - 5 log d - 2.5 log \alpha^2 + M_{\odot} + 5\log d - 5$

শেষ পর্যন্ত পাওয়া যায়, $\mu = - 2.5 log I + M_{\odot} - 2.5 log \alpha^2 - 5$

আমরা জানি, $M_{\odot} = 5.48$ এবং $\alpha^2 = 2.35 \times 10^{-11} steridian$ (যদি $\alpha$ এর মান ১ আর্কসেকেন্ড ধরা হয়)

এতে যেকোন ছায়াপথের জন্য পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতাকে প্রতি আর্কসেকেন্ডে আপাত মান হিসেবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ পাওয়া যায় তা হচ্ছে,

$\mu = 27 - 2.5 \ log I$

যেখানে, $I$ হচ্ছে $L_{\odot} pc^{-2}$ এককে প্রকাশিত পৃষ্ঠ উজ্জ্বলতা।