পরম মান

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
বাস্তব সংখ্যার পরম মানের ফাংশনের লেখচিত্র

গণিতশাস্ত্রে কোন বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মান বা মডুলাস (প্রতীক: |a|) বলতে সংখ্যাটির শুধুমাত্র সাংখ্যিক মানকে বোঝায়। অর্থাৎ +১০ এর পরম মান ১০ আবার -১০ এর পরম মানও ১০। কোন সংখ্যার পরম মানকে সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে সংখ্যাটির দূরত্ব হিসেবে চিন্তা করা যায়।

সংজ্ঞা ও বৈশিস্ট্য সমূহ[সম্পাদনা]

যেকোন বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মানকে |a| দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং নিম্নোক্ত ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।[১]

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{if } a < 0 \end{cases}

উপরোক্ত সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় a এর পরম মান সবসময়ই ধনাত্বক হবে কখনোই ঋণাত্বক হতে পারবে না। যেহেতু + বা - চিহ্ন বর্জিত বর্গমূলচিহ্ন শুধুমাত্র ধনাত্বক বর্গমূলকে নির্দেশ করে সুতরাং

|a| = \sqrt{a^2}

যা কোথাও কোথাও পরম মানের সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।[২] পরম মানের নিম্নোক্ত ৪টি মৌলিক বিধি রয়েছে:

|a| \ge 0
|a| = 0 \iff a = 0
|ab| = |a||b|\,
|a+b|  \le |a| + |b|

আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিধিসমূহ:

||a|| = |a|\,
|-a| = |a|\,
|a - b| = 0 \iff a = b
|a - b|  \le |a - c| +|c - b|
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if } b \ne 0) \,
|a-b| \ge ||a| - |b||

অসমতা সংক্রান্ত আর দুটি মৌলিক বিধি:

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a

এই সম্পর্ক গুলো পরম মান সংক্রান্ত অসমতা সমাধানে ব্যবহার করা যায়। উদাহরণ স্বরুপ:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

জটিল সংখ্যার পরম মান[সম্পাদনা]

জটিল সংখ্যা z এর পরম মান হল z থেকে মূলবিন্দুর দুরত্ব r। চিত্র থেকে আরো দেখা যায় z এবং এর জটিল অনুবন্ধী  z এর মান সমান।

কোন জটিল সংখ্যা

z = x + iy,\,

যেখানে x ও y হল বাস্তব সংখ্যা, তার পরম মান |z| হল

|z| =  \sqrt{x^2 + y^2}

যখন z কে পোলার ফরমে প্রকাশ করা হয়

z = r e^{i \theta}

যেখানে r ≥ 0 এবং θ বাস্তব, তখন z এর পরম মান

|z| = r

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. মেন্ডেলসন, p. 2.
  2. স্টুয়ার্ট, জেমস বি. (২০০১)। Calculus: concepts and contexts। অস্ট্রেলিয়া: ব্রুকস/কোল। আইএসবিএন 0-534-37718-1 , p. A5