জ্যাকবি প্রতীক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

গণিতজ্ঞ্ররা সংখ্যা তত্বে জ্যাকবি প্রতীক ব্যবহার করে থাকেন। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে।

সংজ্ঞাঃ[সম্পাদনা]

ধরা যাক, n>0 একটি বিজোড় সংখ্যা এবং p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} হল n এর মৌলিক উৎপাদক রূপ। তাহলে যেকোন পূর্ণ সংখ্যা a এর জন্য জ্যাকবি প্রতীককে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়,

\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}

জ্যাকবি প্রতীকের বৈশিষ্ট্য[সম্পাদনা]

  1. n যদি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে জ্যাকবি প্রতীক, লিজেন্ড্রি প্রতীক এ পরিণত হয়।
  1. 
\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}
  2. 
\left(\frac{a}{n}\right) = 0 যদি \gcd(a,n) \neq 1
  3. 
\left(\frac{ab}{n}\right) = \Bigg(\frac{a}{n}\Bigg)\left(\frac{b}{n}\right)
  4. যদি ab (mod n) হয়, তাহলে 
\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{b}{n}\right)
  5. 
\left(\frac{1}{n}\right) = 1
  6. 
\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{(n-1)/2} = 1 if n ≡ 1 (mod 4), এবং −1 if n ≡ 3 (mod 4)
  7. 
\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8} = 1 if n ≡ 1 or 7 (mod 8), এবং −1 যদি n ≡ 3 or 5 (mod 8)
  8. 
\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{(m-1)(n-1)/4}