ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

একটি ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স বা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স এর ধারণা বোঝা যায় যদি আমরা ত্রিমাত্রিক \mathbb{R}^3 ইউক্লিডিয়ান জগতে এর উদারণ দেখি। ত্রিমাত্রিক জগতে n এর মান 0, 1, 2 বা 3 হতে পারে। এখানে একটা ক্রমবর্তী 0-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা বিন্দু P. ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা দিগবর্তী বা সদিক রেখাংশ P_1P_2\, . অর্থাৎ P_1\, এর সাথে P_2\, এর সংযোগ কারে রেখা যেটাকে P_1\, থেকে P_2\, এর দিকে বিবেচনা করা হবে। দিগবর্তী হবার কারণে P_1P_2\not = P_2P_1\,. যদিও ধরা হবে P_1P_2 = -P_2P_1\, একটা ক্রমবর্তী 2-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটি ত্রিকোনাকার ক্ষেত্র P_1P_2P_3\, যেখানে এই ত্রিভুজের শীর্ষগুলো একটা নির্দিষ্ট ক্রমে অনুসরণ(ট্রাভারস) করা হয়। একারণে P_1P_2P_3\,এবং  P_2P_3 P_1\, বা  P_3 P_1 P_2\, এর ক্রম একই ধরা হয়। এবং  P_3P_2 P_1\, বা  P_1P_3 P_2\, এদেরকে ধরা হয় বিপরীত ক্রমে। অর্থাৎ, আমরা লিখতে পারি,

P_1P_2P_3 = P_2P_3 P_1 =  P_3 P_1 P_2= -P_3P_2 P_1 = - P_1P_3 P_2=- P_2P_1 P_3 \,

খেয়াল করুন যে, P_iP_jP_k এবং P_1P_2P_3 সমান হবে যদি

\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3  \\ 
i & j & k \end{pmatrix}

একটি জোড় বিন্যাস বা ইভেন পারমুটেশন হয়। এবং -P_1P_3P_2\, এর সমান হবে যদি বেজোড় বিন্যাস বা অড পারমুটেশন হয়। এই একই যুক্তিতে একটা ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স P_1P_2\, এর চিহ্ন (ধনাত্বক/ঋনাত্বক) বের করা সম্ভব। লক্ষ্যণীয় যে n = 0, 1, 2... এর জন্য একটা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা n-মাত্রিক বস্তু (বা n - ডাইমেনশনাল অবজেক্ট)

এখান থেকে আমরা ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্সের ধারণা পেতে পারি। একটি ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্স হচ্ছে চারটি ভার্টেক্সের একটা অরডার্ড সিকুয়েন্স বা (ক্রমাত্বক ধারা) P_1P_2P_3P_4 যারা একটা টেট্রাহেড্রন এর চারটি শীর্ষ যেখানে P_1P_2P_3P_4=\pm P_iP_jP_kP_l । এখানে চিহ্ন নির্ধারণ হয়,

\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4  \\ 
i & j & k & l\end{pmatrix}

বিন্যাসটি জোড় না বেজোড় তার উপর ভিত্তি করে।

একই পদ্ধতিতে ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সের ধারণা  n>3\, মাত্রায় উন্নিত হয়। যেখানে ভার্টেক্স গুলো n-মাত্রিক জগতে একেকটি বিন্দু নির্দেশ করে। এবং তাদের ক্রমের দিক চিহ্ন পূর্বে বর্ণিত বিন্যাস মেট্রিক্স পদ্ধতিতে নির্ধারিত হয়।